ニュートンの運動法則は、実際、物体の運動に関するニュートンの偉大な理論の基礎となる原理であり、この理論は今日ではニュートン力学、または古典力学とさえ呼ばれています。ニュートンは、特に運動の相対性原理に基づいたこれらの一般的な運動法則に万有引力の法則を追加し、物体の落下と地球の周りの月の動きの両方を解釈できるようにしました。
ニュートンの第一法則または慣性原理
声明
運動の第一法則[ 1 ]の元の記述は次のとおりです。
- すべての物体は、何らかの力が作用して状態を強制的に変更しない限り、静止状態またはその直線上での均一な動きを維持します。
言い換えれば、物体に力が及ばない場合 (孤立した物体)、または物体に加えられた力の合計がゼロベクトルに等しい場合 (擬似孤立した物体)、その速度の方向と基準は次のようになります。変化しないか、つまり同じことですが、その加速度はゼロです。この第一法則は、移動定数の速度を維持するにはそれに力を加える必要があると考えられていたアリストテレスの物理法則を無効にします。
ニュートンは著書の中でそれを特定していませんが、この法則はガリレオの参照枠内でのみ有効です。したがって、ニュートンの第一法則は、より現代的な言葉で再定式化できます。
- ガリレオ座標系では、システムに作用する力ベクトルの合計がゼロ ベクトルである場合に限り、システムの慣性中心の速度ベクトルは一定になります。
ガリレオ座標系の問題
ガリレオ座標系の定義は基本的なものであり、多くの場合次のように定式化されます。
- ガリレオ座標系は、ニュートンの第一法則が検証される座標系です。
つまり、ニュートンの第一法則はガリレオ座標系にのみ適用され、ガリレオ座標系はニュートンの第一法則が適用される座標系である…ということは、循環的な定義のように思えます。この問題を回避するには、慣性の原理を次のように書き換えます。
- ガリレオまたは慣性と呼ばれる基準系が存在し、これらの基準系の 1 つに関して、孤立した物質点 (外部作用の影響を受けない) は静止しているか、直線によってアニメーション化されます。そして均一な動き。
適切なガリレイ基準系の決定は実際には実験的なものであり、物理学の場合によくあることですが、理論 (ここではニュートンの第一法則) と測定 (均一な直線運動) の間の一貫性のみがその選択を事後的に検証します。
ニュートンの第二法則または並進力学の基本原理
声明
並進ダイナミクス (PFDT) の基本原理 (ダイナミクスの基本関係または RFD とも呼ばれます) は次のように述べられています: 一定の質量mの物体を考えます。
- ガリレオ座標系で物体が受ける加速度は、物体が受ける力の結果に比例し、その質量mに反比例します。
これは多くの場合、次の方程式に要約されます。
- $$ {\vec{a} = \frac{1}{m} \sum{\vec{F_i}}} $$
または
- $$ {\sum{\vec{F_i}} = m \vec{a}} $$
または
運動量定理
より一般的な形式は、時間の経過とともに質量が変化する場合にも有効です。
- 力は単位時間当たりの運動量の変化に等しい。
これは多くの場合、次の方程式に要約されます。
- $$ {\sum{\vec{F_i}} = \frac{d\vec{p}}{dt}} $$
または
この定理は運動量定理と呼ばれます。ニュートン力学における固定質量の固体の場合、第 2 法則に相当します。
したがって、物体を加速するために必要な力は、その質量とその加速度の積です。物体の質量が大きいほど、(固定時間内に) 所定の速度まで加速するのに必要な力も大きくなります。物体の質量に関係なく、それに加えられるゼロ以外の正味の力は加速度を生成します。
慣性原理に戻る
合成力がゼロの物体については、ニュートンの第一法則、つまり一様な直線運動が成り立ちます。最初の分析では、最初の法則が 2 番目の法則の結果であるように見えるため、その有用性は何なのか疑問に思う人もいるかもしれません。実際には、ニュートンの声明では、第一法則が第二法則の特定の場合としてではなく、後者を適用するための十分条件として提示されているため、これは当てはまりません。実際、第一法則を述べるということは、ガリレオ座標系の存在を肯定することになります。これは、古典力学の現代の表現において、第 2 法則が有効である唯一の基準であるガリレオ基準を定義することを可能にする非常に強力な公準を構成します。第 1 法則が存在しない場合、第 2 法則の有効範囲を定義できないため、第 2 法則は適用できません。したがって、法則が記述される論理的順序は偶然の結果ではなく、一貫した知的構造の結果です。
非ガリレオ座標系
最後に、力と同次であり、しばしば「慣性力」と呼ばれる項を方程式に追加することにより、非ガリレオ座標系でニュートンの第 2 法則をより広範に再定式化できることに注意してください。これらの用語は通常の意味での力ではなく、幾何学的および運動学的起源の補正用語です。
ニュートンの第三法則または相互作用の原理
- 物体A が物体Bに力を加えると、物体Bによって同じ方向で反対方向に同じ強さの力が加えられます。
AとB は相互作用する2 つの物体であり、力は
- $$ {\vec{F}_{A/B} = -\vec{F}_{B/A}} $$
点力学の場合、第 3 法則でも次のように規定されています。
- $$ {\vec{F}_{A/B} \wedge \vec {AB} = \vec 0} $$: 相互作用力は粒子の位置を結ぶ線によって伝わります。
これらの力は同じ作用線、反対方向、同じ基準を持っています。 AとBが静止しているか移動しているかにかかわらず、これら 2 つの力は常に直接対立します。
この法則は「作用反作用の法則」と呼ばれることもありますが、この定式化は良く言えば不正確で、悪く言えば大きな混乱を引き起こします。特に、この古い公式は、「原因」である力 (作用) が常に 1 つ存在し、もう 1 つは一種の結果 (反応) にすぎないという考えを伝えています。
学生が遭遇するもう 1 つの困難は、これら 2 つの力が存在することを忘れてしまうことです。
ここで、相互作用の法則には、力の適用が瞬間的であると仮定するという欠点があることに注意する必要があります（特殊相対性理論ではこれは放棄されています）。遠隔の力の場合、場合によっては伝播遅延を考慮して変換を実行する必要があります。
この修正は相対性理論とは関係ありません。電磁力は離れた場所で作用するため、特殊相対性理論の革命が起こる前に、これらの力は無限の速度ではなく光の速度で伝播することが証明され、方程式にこのニュアンスが含まれていました[ 3 ]
ニュートンの他の法則
重力相互作用の法則
一部の著者（少数派）は、ニュートンの第 4 法則を万有引力の法則と呼んでいます。この名前には非常に疑問がありますが、法則の歴史的な関係のため、ここで言及されています。この法則が他の 3 つの法則や相対性原理と同様に力学の原理の一部ではない場合、ニュートンの最初の成功は次のとおりです。彼の機械的法則と重力相互作用の法則を使用して、ケプラーの経験法則を実証します。これらの最初の成功により、長い間科学に対するニュートンの法則の支配が確立されました。
この法則と力学の基本原理を組み合わせることで、真空中ではすべての物体が同じ速度で落下するというガリレオの予測を実証できることに注意してください (慣性と重力質量が等しいことを暗黙的に認めています)。
ニュートンの「第 5 の系」: 相対性原理
ニュートンは、『プリンキピア』の中で、最初の本に先立つ定義における運動の相対性の概念を強調しました。しかし、絶対空間の概念をスコリア II および IV に導入しても、彼は今日定義されているガリレオ座標系の概念をまだ特定していません。一方、ニュートンは、基準系が彼が絶対空間と呼ぶものに対して等速直線運動をしていない場合については言及していない。したがって、その結果は等速直線運動における基準系では暗黙的に有効ですが、加速された基準系におけるその法則の有効性に対する反証はプリンキピアでは示されていません。 19 世紀のコリオリとフーコーの研究によって、今日知られているようなガリレオ座標系の概念が出現し、非ガリレオ座標系に向けて (またはガリレイ座標系から) 座標系を変更するための公式が登場しました。参照が確立されました。
相対性理論は次のように述べられています。「相互に一様に直線移動する 2 つの空間フレームは、力学の法則にとって等価です。」
(ニュートンの意味では、絶対空間に対して等速直線運動をする基準系に限定する必要があります。ただし、1 つの基準系が 2 番目の座標系に対して等速直線運動をしている場合、それ自体が絶対空間に対して等速直線運動をしていることを思い出してください)空間の場合、最初の参照フレームは絶対空間に対して等速直線運動します)
これは、最初の 3 つの法則、時間、質量、力の不変性 (アインシュタイン以前の物理学で暗黙的) を認めることによって検証できます。これが、ここでこの原則が当然の結果であると呼ばれる理由です。
この原理はガリレオの相対性原理と呼ばれます。なぜなら、有名なガリレオの対話の中にその痕跡が見られるからです。ただし、ガリレオは、一様な回転についても同じであると仮定していました。
より現代的な定式化では、すべての物理法則は、相互に一様に直線移動する 2 つの空間フレームで同じであると主張されます。この強力な定式化が特殊相対性理論の基礎です。
注: 地動座標系はガリレオ座標系 (一般にそう考えられています) であり、惑星や探査機の動きが研究されるのはこの座標系です。地球の中心が太陽の周りを加速しているときに、地心基準系をガリレオと考えることは、潮汐力を無視することになります。地球上の基準系をガリレオ式と考えることは、「重力」の遠心力成分、および物質点が運動している場合のコリオリ力を無視することになります。実用的に言えば、基準系がガリレオにどの程度近似できる（とみなされる）かを見つける方法を知ることは、常に先送りされる探求です。
歴史と認識論
歴史的背景
アイザック ニュートンは、 1687 年に著書『数学哲学』の第 1巻で法則を述べ、彼が開発した新しい数学ツールを使用して、理想化された粒子の運動に関する多くの結果を証明しました。
ニュートンを中傷する人の中には、ニュートンが最初の原理を書くのにガリレオの業績に触発されたと言う人もいます（「力がかからなければ、あらゆる物体は永遠に直線運動を続ける」というガリレオの言葉をほぼ繰り返していますが、付け加えています）動きの均一性の概念)。
ニュートンがガリレオの研究を知っていたとすれば、彼の役割はガリレオのアイデアを形式化し、力学の構築を可能にする結果を引き出すことであった、と修飾するのは適切である。ニュートンが「私が他の人よりも遠くまで見えたとしたら、それは私が巨人の肩に担がれてきたからだ。」と述べたとき、知識のある読者は、この研究がガリラヤの研究の続きであることを理解しているはずです。実際、ニュートンは、すべての力学を構築する際に基礎とした慣性原理と相対性原理がガリレオによって定められたものであると明言しなかったのは、まったく単純に、読者が知っているはずだと信じているからであるとさえ言えるでしょう。
最初の 2 巻は数学的なものです。第 3 巻では、自然哲学 (自然現象の物理学の古い名前) が説明されています。彼は、その運動法則と万有引力の法則が組み合わされて惑星の運動を説明し、ケプラーの法則を導き出すことを可能にする方法を示しました。
1905 年、アルバート アインシュタインの特殊相対性理論は、絶対時間の概念が光速よりもはるかに小さい速度でのみ正しい結果をもたらす概念であることを示しました。特殊相対性理論のもう 1 つの帰結として、いかなる物質体もcと呼ばれる速度制限を超えることはできません。これは今日まで、光子の速度に等しいと考えられています。この速度は、定義によってc = 299,792,458 m/s に固定されており、次のように定義されます。メーターは秒と同じ相対精度 (10 -15程度) を持ちます。
同様に、1915 年に相対性原理を一般化することにより、アインシュタインは重力理論を提案しました。2005 年の時点でもまだ地上の実験室ではテストされていませんが、天文学では検証され、反駁されておらず、精度は高まっています。この理論は、ニュートン方程式によって課せられる無限速度の伝播を回避し、光の速度で重力が伝播することを提案しています。重力に関するこの新しいビジョンは、慣性が重力質量に等しいというニュートンによって認められた予備的な結果の重要性を強調しています。
すべてにもかかわらず、この原理の建造物は依然として人間の思考の記念碑であり、これらの単純な法則だけで、すべての通常の力学を構築すること、つまり、量子または相対論的状況を除くすべての物理学を記述することが可能になります。
ニュートン方程式による惑星の運動の予測は注目に値するものでした。そして、惑星の相互作用を考慮すると、現実からの唯一の逸脱は、水星の近日点の前進に対する 1 世紀当たりの弧の 43 インチという小さな残差であり、それを説明するには一般相対性理論が必要でした。
そして、（CERN の LHC 建物の「相対論的」建築を除けば）低速での一般的な生活において、私たちはこれらの実用的な運動法則に非常に満足しています。
そして、究極の精度 (たとえば、全地球測位システム、GPS、またはガリレオの精度の向上) が必要になるとすぐに、アインシュタインでニュートンをわずかに修正する必要があることがわかります (「巨人は互いに支え合っています…」!)。原子を研究するときはハイゼンベルクによるものもあります。
認識論
上記の法則はニュートンによって形成され、制定されました。しかし、その基礎はガリレオ、トリチェリ、デカルト、ホイヘンス、フックなどの過去の著作から来ています。「私は巨人の肩に担がれていた」とニュートン自身も認めました。
エルンスト・マッハが著書『力学』で指摘したように。その発展の歴史的かつ批判的な説明[ 4 ] 、第一法則は実際にはプリンキピアの定義 IV のトートロジー (役に立たないもの以外は何でも!) であり、物理学の基本である力の概念を導入しています。
- 印加された力 (vis impressa) は、その状態が静止している場合でも、直線での均一な動きである場合でも、身体の状態を変化させる作用です。 [ 1 ]
したがって、この定義に第一法則の価値を与えることができます。ニュートンが選んだ表現は、ガリレオの業績を取り上げたいという願望によって正確に説明できます。
しかし、さらに進んで、システムの運動量の保存を力学の第一原理にすることもできます。このアプローチには、動きの量という概念に基づいているという利点があり、相対論的な動きの問題を扱うことが可能になります。
さらに、第 3 法則により、絶対に自明ではないが物理学の基本でもある相互作用の概念を導入することが可能になります。たとえばアリストテレスの観点を参照すると、当時、この法則は不条理でした。アリストテレスでは、魔法やその他の遠隔操作は物理学の枠内には存在しませんでした。ギルバートの『Magnete』以来、磁気は「スペクトル線」、つまり旋風によって解釈されてきたことを思い出してください。同様に、重力の原因は、デカルトによって渦の (偽の) 理論によって解釈されていますが、あまりに矛盾しているため、ホイヘンスですらもはやそれを信じていません。一方、ニュートンは、今でも有名なフレーズ「仮説はフィンゴではない、私は重力の究極の原因を探求しない」と宣言しました。重力は求心法則を通じて「表現」され、彼はこの力の性質について何の仮定もしていないと述べています。
したがって、ニュートンは、当時の物理学によって課された枠組みの外に大胆に出たので、激しい批判を受け、遠くでの瞬間的な行動は狂気であるとして拒否されました（それはニュートン自身を悩ませました）（レーマーは光の速度の有限性を示したばかりでした）。 1915 年に、アインシュタインは、それほど衝撃的ではない仮説を提案しました。それは、重力は限界速度cで伝播するというものです。
問題と制限
絶対宇宙
ニュートンは、絶対的な空間と時間が存在すると仮定しました。
実際、絶対空間の概念を、いわゆる「慣性」基準系のクラス全体に拡張することもできます。これは終わりのない探求ですが、ますます正確になります。通常の基準系が完全に慣性ではないとしても、少なくともそれらが存在することを証明することはできます。しかし、ある基準枠と、最初の基準枠に対して一定の速度で進化する別の基準枠との同等性を擁護したガリレオを完全に信じなかったのは、ニュートンの間違いでした。
一方、ニュートンは絶対時間には警戒していました。彼は、時間スケールを変更すると PFD の表現が変わることを知っていました。彼はそれを上手に使ったこともありました。しかし明らかに、どの時間スケールを選択するかという決定を下す必要がありました。最も単純に思えたのは、有名なケプラーの法則です。そしてすべてが一貫していました。
相対時間、速度の有限性、同期および時間の移動の概念は、探求される前に依然として多くの発見を必要とします。したがって、彼は絶対的で規定された動的時間を選択しました。つまり、絶対的な時間は均一に流れます。と書くときに介入するのはこの変数tです。
- $$ {v = \frac{dx}{dt}} $$、
それから
- $$ {a = \frac{dv}{dt}} $$。
特殊相対性理論が使用されない限り、この絶対時間は一般に受け入れられます。しかし、それにもかかわらず、これは強力な哲学的仮説を構成しており、特にライプニッツによって定期的に議論されており、次のように述べています。
- 「私は空間を純粋に相対的なものだと考えていることを何度も指摘しました。時間は連続の順序であるのと同じように、共存の順序です。」
相対論的限界
17世紀に更新されたニュートンの理論の大きな困難の 1 つは、離れた場所での瞬間的な作用の概念です。ニュートン自身も、彼の重力理論と第三法則の両方に存在するこの仮定に悩まされていました。
17世紀後半には、特に電磁気学に関するいくつかの困難が発生し、現状ではニュートンの原理ではすべての機械的または運動学的問題を説明できないことも示されました。
特殊相対性理論は現在、光の速度より速く伝播する相互作用はないことを実証しており、したがって瞬間的な相互作用に決定的に疑問を投げかけています。さらに、速度が光の速度に近い物体については、ニュートンの法則はもはや適切な近似ではないことも示しています。実際、特殊相対性理論の公式により、ニュートン物理学をc が無限であると仮定した近似として考えることができます。
したがって、ニュートンの法則はアインシュタインによって反駁されません。それどころか、相対性理論は、ニュートン方程式を包含するより一般的な理論から実証可能にすることで、低速の場合のニュートン方程式を正当化することを可能にします。
一方、特殊相対性理論においても、力は常に運動量の定理を尊重しますが、適応され、ローレンツ因子が明らかになります。したがって、運動量定理は、低速が許容する場合にニュートンの法則を推定できるため、非常に強力な定理です。それ以外の場合は、特殊相対性理論の結果に当てはまります。
もちろん、ニュートンの法則が間違っていると言うのはばかげています。地球上での物体の落下は、古典力学の日常的な応用のほとんどと同様に、相対性理論による補正が最小限である場合です。
一方で、結果が根本的に変更される状況は、たとえば CERN の粒子加速器の場合です。電圧Vによって電荷qの粒子にもたらされる運動エネルギーはqV の価値があります。 CERN の TeraVolt (1 兆ボルト) では、通常、電子の速度が光の速度の 2,000,000 倍であることがわかります。相対論的枠組みで計算される実際の速度は、光の速度を 1 秒あたり数ミクロン減少させたものです。したがって、ニュートンの法則が有効な状況と使用できなくなる状況を明確に区別することが重要です。
量子の限界
書くには…
決定論とニュートンの法則の証明
ラプラスとネーターが接近
ニュートンの法則は、より抽象的なテーゼから構築できます。
ニュートンの法則は、ラプラス、次にマッハ、次にポアンカレ、そしてコルモゴロフによる批判的な分析を受けました。
彼らの分析によれば、力学の基本原理は、ラプラスが確率に関する論文で述べた決定論の結果に帰着することができます。
- 初期位置x 0と初速度v 0がわかっている場合、力学の基本原理 (PFD) の方程式は、力をF ( x, v, t )として、この微分方程式を解くだけで十分であることを示しています。粒子x ( t )とv ( t )の未来と過去を決定します。
したがって、位相面[ x ( t ), p ( t )]内の電子のハミルトニアン軌道はPFD によって決定されます。さらに、法則F ( x, v, t ) を実験的に見つける必要があるため、この原理が主張することはこれだけです。
たとえラプラスによって定義された決定論に限界があるとしても、運動量定理がまさに物理学の原理に基づいていることを示すことは可能です。実際、それはネーターの定理の結果です。
決定論的カオスに関する注意事項
注意事項
- ↑ a b自然哲学の数学的原理 エミリー・デュ・シャトレによるラテン語からフランス語への翻訳（1756年）による。
- ↑ 。この数値は、巨視的な物体に含まれる粒子の数の大きさの順序を与えるアボガドロ数を大まかに表します。
- ↑しかし、光の絶対速度（研究基準系とは独立）の存在はニュートン力学の速度の加法則と両立せず、相対性理論を支持してニュートン力学が放棄された根本的な理由となっている。
- ↑第 II 章力学の原理の発展、セクション VIIニュートンの声明の共観的批判、パラグラフ 4。エミール・ベルトランによる翻訳 (1904)