導入
数学、より正確にはガロア理論の枠組み内の代数では、体K内の係数を持つ既約多項式 P(X) の分解体は、多項式の少なくとも 1 つの根を含むKの最小代数拡張です。
著者らによれば、破砕体の他の定義も見つけることができます (セクションを参照)。
選択した定義を使用して、P が既約多項式の場合、P(X) のすべての分解体は K[X]/(P(X))、K の係数を持つ多項式の環 K[X] と同型であることを示します。多項式 P(X) によって生成された理想値による商。
分解体を使用すると、多項式を分解できる体を見つけることができますが、一般に、この構成では多項式を完全に分割する、つまり、多項式を 1次の因数の積に分解するには十分ではありません。したがって、分解体の構築は、多項式を完全に分割できる分解体の構築における 1 ステップにすぎません。これらは、分離可能性の基準が保証されている場合、ガロア理論の基本定理を適用するのに必要な良好な特性を有する分解体です。
分解本体にP ( X ) の根がすべて含まれていない場合は、すべての根を含む代数拡張が構築されるまで操作を繰り返すことができます。つまり、多項式の分解本体が得られます。
意味
K を体、 P ( X ) を不定数に既約で係数がKの形式的多項式とします。 L が、 P がルート α を持つKの拡張である場合、 Kと α を含むLの最小サブフィールドは、α によって定義されるKの単純拡張であり、 K (α) と表されます。 K上の既約多項式であるP ( X ) の破砕場は、定義上、 Kの単純拡張K (α) です。ここで、 α はPの根です。この場合、 α はK上の代数であり、 P (既約) は、1 つまで可逆な、 K上の α の最小多項式です。
物体Kの拡張L は、 K上のベクトル空間として見ることができ、その次元はK 上の L の次数と呼ばれ、[L:K] で表されます。 K上のPの破砕場は、 Kの有限代数拡張です。次の段落では、多項式Pが既約であり、α がPの根であり、 K (α) が最小のK [α] であるため、この拡張の次数は必然的に多項式Pの次数nになることを示します。 Kと α によって生成されるリング、 K上の基数 1, α, …, α n -1のベクトル空間。
したがって、 K上のn次のP既約多項式の破砕場F は等価的に次のようになります。
- Pの根によって定義されるKの単純な (代数的) 拡張。
- Pのルートを含むKの最小拡張。「最小」とは、 Fの適切なサブフィールドがP ( X )のルートを含まないことを意味します。
- Pの少なくとも 1 つの根を含み、 Kの最小次数を含むKの拡張。
- Pの根を少なくとも 1 つ含み、 K上の次数nのKの拡張。
例
- 実数の場では、多項式X 2 + 1 は係数の場に根を持ちません。実際、実数フィールドのすべての平方は正です。この多項式の限界となる分野は、複素数の分野です。 2年生です$$ {\scriptstyle \R} $$(複素数の構築を参照)。
- 有理数の分野では、多項式X 3 – 2 には根がありません。 $$ {\scriptstyle \Q} $$しかし彼はそれを持っています$$ {\scriptstyle \R} $$、 どちらか$$ {\scriptstyle \sqrt[3] 2} $$。のサブボディであることを確認します。$$ {\scriptstyle \R} $$、$$ {\scriptstyle \Q(\sqrt[3]{2})} $$書かれたすべての実数の集合です$$ {\scriptstyle a+b\sqrt[3] 2+ c\sqrt[3]{4}} $$a、b、c は有理数です。これは次数 3 です。ただし、この拡張には多項式の根がすべて含まれているわけではありません。実際、複雑なコンポーネントを持ち、この体の要素ではないものが 2 つあります。$$ {\scriptstyle\sqrt[3]2 \mathrm j} $$そして$$ {\scriptstyle\sqrt[3]2 \mathrm j^2} $$ここで、 j と j 2 は1 とは別の 1 の 2 つの三次根です ($$ {\scriptstyle \mathrm j= -\frac 12 + \mathrm i \frac{\sqrt{3}}{2}} $$）。複合体の本体にはX 3 – 2 の 3 つの破断本体が含まれていることを確認します。$$ {\scriptstyle \Q(\sqrt[3]{2})} $$すでに述べたように、$$ {\scriptstyle \Q(\sqrt[3]{2}\mathrm j)} $$(これは次の形式の複合体のセットです$$ {\scriptstyle a+b\sqrt[3] 2j+ c\sqrt[3]{4}j^2} $$a、b、c は有理数)、および$$ {\scriptstyle \Q(\sqrt[3]{2}\mathrm{j}^2)} $$(同様の定義)。実際、それらはすべて次数 3 であり、必然的に 2 対 2 で同型になります (次の定理を参照)。 None はX 3 – 2 の分解体 ( Pのすべての根を含む最小の体(
- 既約多項式の分解体は、多項式の次数が厳密に 2 より大きい場合でも、後者の分解体と等しくなる可能性があります。これは、次の分解体の場合に当てはまります。 $$ {\scriptstyle \Q} $$多項式X 4 + X 3 + X 2 + 、α 3 、α 4 (円分多項式も参照) の計算。これは、有限体上の既約多項式の場合に常に当てはまります。
