導入
数学、より正確には有限群理論の文脈では、バーンサイドの定理はバーンサイド問題の基準を満たす群の有限次数表現を扱います。
この定理は、有限の指数グループの有限次数表現は有限のイメージを持つことを述べています。
この定理は、1905 年に証明したウィリアム バーンサイドにちなんで名付けられました。
この定理は、有限型と有限指数のグループに関するバーンサイド問題と呼ばれる広大な問題に対する解決策の一部です。この推測は2006 年時点でもまだ未解決です。
声明
- 有限次元の複素ベクトル空間における有限の指数グループの表現はすべて、有限のイメージを持ちます。
同等のステートメントは、有限次元複素ベクトル空間の線形群では、どの有限指数部分群も実際には有限であるということです。
デモンストレーション
デモには次の表記が使用されます。 C は複素数体を示し、 V はnで示される有限次元のC上のベクトル空間、 u はVの同型写像、 Tr はCの線形群GL ( V ) のトレースマップを示します。 。ここで、 pが正の整数の場合、 u p はuをp回反復して合成したものを表します。表現の画像サブグループはGで示され、 Gによって生成されたGL ( V ) の代数はAで示されます。
補題
証明は技術的な補題に基づいています。
実際、 uが nilpotent である場合、その一意の固有値は0であり、そのべき乗についても同じことが当てはまります。彼の痕跡も、彼の力の痕跡もゼロだ。
逆に、 uのトレースとそのべき乗がゼロであると仮定します。 P としましょう[ つまり:
i が1 からnまでの整数の場合、 u iのトレースは次の等価性を検証します。
これを実現するには、たとえば、 uの行列に対してジョルダン削減を実行するだけで十分です。 iとj が1 からkまでの整数の場合、ファミリー (α i ) は行列 (λ i j ) によってキャンセルされます。次に、ヴァンデルモンド行列を見つけます。ゼロは固有値であると推測します。方程式(i)の系からゼロ固有値を減算すると、新しいヴァンデルモンド行列が得られます。したがって、唯一可能な固有値はゼロです。
最小多項式はXの累乗になります。これは、 uが零であることを意味します。
定理
群Gが有限である場合、ラグランジュの定理はその指数が有限であることを証明します。
逆に、 A は有限次元代数であるため、この代数の基礎となる 1 からmまで変化するiの族 ( gi ) が存在します。 φ を、次のように定義されるC mのAの線形マップとします。
定理は 3 つの手順で証明されます。
- aとbが φ による同じイメージを持つAの 2 つの要素である場合、 kが正の整数の場合、( ab -1 ) kのトレースはnに等しくなります。
まず、 m がA以外の要素の場合、 amとbmのトレースは等しいことに注目します。実際、 c iの族はベクトル空間Aを生成し、トレースは線形です。次に ( ab -1 ) kのトレースを計算してみましょう。
最後の 2 つの因数がAの要素であるため、2 番目の等式は true です。反復により、 ( ab -1 ) kのトレースは恒等式のトレース、つまりnのトレースに等しいと結論付けることができます。
- マップ φ は単射的です。
これを行うために、 ab -1 – Idのべき乗のトレースを決定しましょう。ここで、 Id は恒等準同型性を示します。 k が正の整数の場合、ニュートンの二項公式は次のことを示します。
補題によれば、準同型性ab -1 – Id は零能です。ここで、 ab -1 は、 e が群Gの指数を指定する場合、打ち消し多項式X e – 1、つまり複数の根を持たない分割多項式として認められるため、対角化可能な準同型性です。実際、内部同型性は、最小多項式が複数の根を持たずに分割される場合にのみ対角化可能です (この特性は、内部同型性多項式の記事で実証されています)。
これをab -1の固有ベクトルの基底とします。これは恒等性の固有ベクトルの基底でもあり、したがってab -1 -Idの固有ベクトルの基底でもあります。したがって、この最後の準同型性は対角化可能であり、零同型性があり、これがヌル準同型性と等しいことを示しています。 ab -1が恒等式に等しい、またはaがbに等しいと推論し、命題が証明されます。
- 群G は有限次数です。
g がGの要素の場合、唯一の固有値は 1 のe番目の根です。このことから、 g のトレースは有限数の値のみを取ることができ、φ の到着集合は有限であることが推測されます。 φ は単射であるため、 G は有限集合です。これでデモンストレーションは終了です。