数学では、 p進数は体の要素です。

p – 進数。ここで、 pは指定された素数です。したがって、 2進数、 3進数などについて話します。

遺体

p進数はフィールド補完によって構築されます有理数にp -adic ノルムと呼ばれる特定のノルムが装備されており、 |で示されます。 。 | _p 。ある意味、身体は体に関係している実数。考慮されるノルムが通常の絶対値である場合、これは有理数体の完成でもあります。

p進数フィールドを生み出した主な動機は、整数列テクニックを数論で使用できるようにすることでしたが、その有用性は現在、この枠組みをはるかに超えています。さらにボディにも装備可能

非アルキメデスの規範。その後、通常の分析とは異なる分析が得られます。これを p 進分析と呼びます。

工事

分析的アプローチ

実数は、有理数のコーシー数列の同値類として定義されます。ただし、この定義は選択したメトリックに依存するため、別のメトリックを選択すると、実数以外の数値が作成される可能性があります。実数に使用される計量はユークリッド計量と呼ばれます。

与えられた素数pに対して、次のp進ノルムを定義します。

次のように：

非ゼロ整数aのp進評価は、 aを素因数の積に分解する際のpの指数であることを思い出してください。

次に、次のように尋ねることによって、ゼロ以外の有理数の評価を構築できます。

$$ {v_p\left(\frac ab \right) = v_p(a) – v_p(b)} $$

。

この定義が合理的に選択されたものの代表から独立していることを簡単に証明します。

p進ノルム| r |非ゼロの有理数rの_pは価値がある

$$ {p^{-v_p(r)}} $$

。

rがゼロの場合、 |を設定します。 r | _p = 0 。この拡張は、k の任意の値に対して 0 がp ^kで割り切れるため、0 の評価は無限になるという考えと互換性があります。

ある意味では、 r がpで割り切れるほど、そのp進ノルムは小さくなります (これは離散評価の特殊なケースであり、代数ツールです!)。

たとえば、

:

$$ {|r|_2=2\,} $$

$$ {|r|_3={1 \over 9}\,} $$

$$ {|r|_5=25\,} $$

$$ {|r|_7={1\over 7}\,} $$

$$ {|r|_{11}=11\,} $$

$$ {|r|_p=1\,} $$

他の素数の場合。

このアプリケーションが標準のすべての特性を備えていることを示します。あらゆる（自明ではない）標準が

は、ユークリッド ノルムまたはp -進ノルム (オストロフスキーの定理) と同等です。 p進ノルムは計量dp_を定義します。 尋ねることによって：

dp ( x , _y ) = | x − y | _p

体

p進数は計量空間の完成として定義できます ( 、 d _p )。その要素はコーシー数列の同値クラスであり、2 つの数列の差が0に収束する場合、2 つの数列は同等であると言われます。このようにして、フィールドでもあり、以下を含む完全な計量空間を取得します。 。

この構造により、その理由が理解できます。

は算術的に類似したものです 。

代数的アプローチ

この代数的アプローチでは、まずp進整数のリングを定義し、次にこのリングの分数フィールドを構築してp進数のフィールドを取得します。

p進整数のリングを定義します

リングの射影限界のように 。 p進整数はシーケンスになりますのようなそして、 n < mの場合、 a _n = a _m [ p ⁿ ]となります。

たとえば、2 進数の35 は次のシーケンスになります。

。

このようなシーケンスの加算と乗算は、モジュロ演算子を使用して交換できるため、明確に定義されています (モジュラー算術を参照)。さらに、最初の要素が 0 でないシーケンス( a _n )は、逆行列を持ちます。

p進整数のリングにはゼロの約数はありません。その分数体を考慮して次の体を得ることができます。

p進数。

ヘンゼルの正準分解

pを素数とする。のゼロ以外の要素r

(特に、 ) は次の形式で独自に記述されます。

$$ {r = \sum_{i=k}^\infty a_i p^i} $$

または

a _{i は}0からp − 1までの整数です。この記述は、 rをp進数として正規に分解したものです。

この系列は、 p進メトリックに従って収束します。

注意します

のすべての要素のようなこれらを合わせてp進整数と呼びます。 の部分環です 。 p進整数は、基数pの数字の左側にある無限シーケンスで表すことができますが、他の要素は 、小数点の右側に有限の桁数があります。つまり、この記述は、実数の記述で通常遭遇するものとは逆の方法で機能します。

たとえば、 p = 2の場合:

• $$ {1 = 1\times 2^0 = \ldots 000001_2} $$
  (下付き文字の2 は、1 の 2 進展開であることを示します)
• $$ {-1 = \sum_{n=0}^\infty 2^n = \ldots 11111111111111_2} $$
  : それを確認できます。
  $$ {\ldots 001_2+\ldots 001_2=\ldots 0010_2} $$
  、この書き込みに 1 を追加すると、書き込み全体にわたってキャリーがシフトされ、最終的に 0 が得られます。
• $$ {3 = \ldots 000011_2} $$
• $$ {{1 \over 3} = 1 + \sum_{n=0}^\infty 2^{2n+1}= \ldots 01010101011_2} $$
  : この結果に次の値を乗算します。
  $$ {\ldots 000011_2} $$
  、1を見つけます。
• $$ {\sum_{n=0}^\infty 2^{2^n}} $$
  の要素を表します
  $$ {\mathbb Q_p} $$
  (そしてさらに
  $$ {\mathbb Z_p} $$
  ）にないもの
  $$ {\mathbb Z} $$
  。

別の例では、 p = 7 :

2 には平方根がありません

しかし、中には1つあります 、つまり 。

プロパティ

可算性

p進整数のセットは数えられません。

p進数には有理数が含まれており、ゼロ標数を持つ体を形成します。オーダーボディを製作することは出来ません。

トポロジー

p進整数の集合のトポロジーはカントール集合のトポロジーです。 p進数の集合上のトポロジーは、点が取り除かれたカントール集合のトポロジーです (当然、これは無限と呼ばれます)。特に、 p進整数の空間はコンパクトですが、 p進数の空間は局所的にのみコンパクトです。計量空間としては、整数とp進数が完成します。

実数には、複素数という適切な代数拡張が1 つだけあります。言い換えれば、この二次拡張は代数的に閉じています。 p進数の代数閉包は無限です。遺体

無限の数の非等価な代数拡張を持ちます。さらに、の代数閉包は、 完全ではありません。その計量補完はΩ ^pと呼ばれ、代数的に閉じられています。

フィールドΩ ^pも注目されます

、身体と抽象的に同形です複素数であり、エキゾチックな計量を備えた最初のものを最後のものとみなすことができます。ただし、このような同型写像の存在は選択公理の結果であり、明示することは不可能であることに注意してください。

p進数には、 n がp − 1を除算する場合に限り、n^番目の円分体が含まれます。たとえば、 ^1st 、 ^2nd 、 ^3rd 、 ^4th 、 ^6th 、および^12thの円分体は、

。

数値e は、どのp進数フィールドの要素でもありません。ただし、 p = 2でない限り、 e ^{p は}p進数です。 e は、すべてのp進体の代数閉包の要素です。

実数では、導関数がゼロになる関数は定数関数だけです。これはp進数には当てはまりません。たとえば、関数

$$ {f:\mathbb Q_p \longrightarrow \mathbb Q_p,\,x\longmapsto\left\{\begin{matrix} \left({1 \over |x|_p}\right)^2, & \mbox{si }x \ne \mbox{0} \\ 0, & \mbox{si }x=\mbox{0} \end{matrix}\right.} $$

はすべての点でゼロ導関数を持ちますが、局所的に 0 で一定ではありません。

自分たちに要素を与えると

それぞれのメンバーのシーケンス( x _n )を見つけることができます。 x _nの制限が rとし、すべての素数pについて、それをr _pとします。 。

合理性

正の数γ _{0 は}、その p 進の展開が特定のランクから周期的である場合、つまり 2 つの整数が存在する場合に限り、有理数となります。

そしてk > 0 であるため、 (数γ ₀の p 進展開を表すシーケンスa _n )