言語学では、 first 、 Second 、 third 、 fourなどの単語が使用されます。を序数形容詞といいます。数学では、この概念は、整然とした集合の「範囲を測定する」ために拡張され、カーディナリティのみを考慮するよりもさらに細かい方法で行われます。序数は有限または無限になります。ゲオルク・カントールによって発明されました。
導入
自然数は2 つの目的に使用できます。1 つはセットのサイズを記述するため、もう 1 つは順序付けされたシーケンス内の要素の位置を示すためです。有限の場合、これらの概念はそれぞれ基数 (1、2、3、…) および序数 (1、2、3、…) 形容詞に対応し、非常に似ています。ただし、無限の場合は、基数と序数を注意深く区別する必要があります。
基数の概念が特定の構造を持たない集合に関連付けられている場合、序数はこの集合の要素の順序、より具体的には適切な順序に密接に関連付けられます。簡単に言うと、整然としたセットとは、空でないすべての部分に最小の要素が含まれるセットです。セットの最小の要素は 0、次の 1、次の 2 で表されますが、セットが無限になるとすぐに、セットのすべての要素を順番に指定するための適切な表記が必要になります。
たとえば、サルコフスキー順序の変形に従って順序付けされた厳密に正の整数のセットを考えてみましょう。最初に奇数の整数を並べ、次に奇数を 2 倍、次に 4 倍というように並べてみましょう。
- $$ {1 \;\triangleleft\; 3 \;\triangleleft\; 5 \;\triangleleft\; 7 \;\triangleleft\; \ldots \;\triangleleft\; 2 \;\triangleleft\; 2\times 3 \;\triangleleft\; 2\times 5 \;\triangleleft\; 2\times 7 \;\triangleleft\; \ldots \;\triangleleft\; 2^n \;\triangleleft\; 2^n\times 3 \;\triangleleft\; 2^n\times 5 \;\triangleleft\; 2^n\times 7 \;\triangleleft\; \ldots} $$
1、3、5、7などそれぞれ 0、1、2、3 などの位置を占めます。
2 は、無限の要素の後に見つかった最小の要素です。順序の観点から、それはωで示される位置を占めます。
2 × 3 はωに続く要素で、 ω + 1などで示される場所を占めます。
4 は、倍無限の要素の後に見つかった最小の要素です。それはω2 の位置を占めます。より一般的には、 2 n がω n の位置を占めます。前の要素に続いて追加の要素がある場合、それらは無限大の後に見つかるため、位置ω 2 、ω 2 + 1などを占めることになります。
意味
2 つの方法のいずれかで序数を定義します。 2 つ目は、序数がそれに先行する一連の序数によって定義されるという事実を反映しています。
- 最初の定義は、順序付きセットの同値クラスに基づいています。序数は順序同型まで考慮された整った集合です (射がアプリケーションを増加させ、同型が全単射を増加させる良好な順序のカテゴリ内)。したがって、適切な順序の要素の名前を変更しても、要素を相互に比較する方法を変更しない限り、同じ順序数について話していることになります。
- 2 番目の定義はJohn von Neumannによるものです。順序αは、次の 2 つのプロパティを満たすセットです。
- (i) 関係によって適切に順序付けられている$$ {\in} $$。言い換えれば、序数のどの部分でも、メンバーシップ関係の最小要素が認められます。
- (ii) これは推移的であり、次のことを意味します。 $$ {\forall x ( x \in \alpha \Longrightarrow x \subset \alpha )} $$。
- (i) 関係によって適切に順序付けられている
この最後の定義をこの記事の残りの部分で採用します。通常、序数はギリシャ文字で指定され、集合は一般にラテン文字で指定されます。
前の定義を適用すると、自然数は次のように構成できます。
- 0 = {} (空のセット)
- n+1 = n U {n}
したがって、正の整数は、N を超えるすべての先行整数と識別されます。 例:
- 1 = {0} = { {} }
- 2 = {0,1} = { {}, { {} } }
- 3 = {0,1,2} = {{}、{ {} }、{ {}、{ {} } }}
- 4 = {0,1,2,3} = { {}、{ {} }、{ {}、{ {} } }、{{}、{ {} }、{ {}、{ {} } }} }など
このように、任意の自然数は、メンバーシップ関係によって適切に順序付けされた集合になります。
無限序数の存在は、無限の公理によって保証されます。最初の超有限序数はωで示されます。自然整数の集合に対応します
次の序数は、
次の序数に適切な表記法を定義するには、序数に対する算術演算を定義する必要があります。
順序数は、広い意味では包含によって、または厳密な意味ではメンバーシップによって完全に順序付けされますが、 ZFC公理 (通常の公理的集合論) の意味での集合を形成せず、独自のクラスを形成します。これは、Burali-Forti のパラドックスのおかげで強調できます。序数のセットは定義上、序数になります…しかし、これはすべての序数よりも厳密に (定義によっても) 大きくなります。これは明らかに矛盾しています。
プロパティ
次のことを示します。
- 2 つの序数αとβが与えられた場合、どちらかが指定されます。 $$ {\alpha \in \beta} $$α < β 、またはα = β 、または$$ {\beta \in \alpha} $$。私たちは以下の間に等価性を持っています$$ {\alpha \subset \beta} $$そして （$$ {\alpha \in \beta} $$またはα = β )、これに注意してください。$$ {\alpha \le \beta} $$。
- 序数のすべての要素は序数です。
- 2 つの序数の交点は 1 つの序数であり、2 つの序数の小さい方に等しい。
- 2 つの序数の和集合は1 つの序数であり、2 つの序数の大きい方に等しい。
- αが序数の場合、 $$ {\alpha \cup \{\alpha\}} $$また。この最後の序数はα + 1と表されます。 α < βの場合、$$ {\alpha +1\le \beta} $$。したがって、 αとα + 1の間に序数は存在せず、したがって、これはαの後継序数として記述することができます。
- A が序数を要素とする集合の場合、 $$ {\cup(A)} $$は、メンバーシップ関係のAの序数の上限です。 (注意します$$ {\cup(A)} $$Aの順序要素の結合)。
- αが空ではない序数の場合、次のようになります。
- またはα には最大要素βがあります。それで$$ {\cup(\alpha) = \beta \in \alpha} $$、 しかし$$ {\beta + 1 \notin \alpha} $$( β が最大であるため)、 β + 1 = αとなります。
- または、 α に極大要素がありません。それで$$ {\cup(\alpha) \notin \alpha} $$そしてそれを示します$$ {\cup(\alpha) = \alpha} $$。後者の場合、 α は極限順序であると言います。このような順序数の例は、最小の無限順序数ωによって与えられます。
- またはα には最大要素βがあります。それで
- αが極限順序数ではなく、極限順序数を含まない場合、順序数α は有限であると言います。言い換えれば、極限序数が存在する場合、 αは無限大です$$ {\beta\leq\alpha} $$。
- 超限回帰。この再帰は、整数にすべての序数に適用する再帰の原則を一般化します。もし$$ {\varphi} $$は序数に関連するプロパティであり、任意の序数αについて次の含意が当てはまります。
- $$ {(\forall \beta < \alpha, \varphi(\beta)) \Longrightarrow \varphi(\alpha)} $$
それで
序数の算術演算
序数に対する算術演算を定義することもできます。これらの操作は超有限再帰によって定義されます。
追加
2 つの序数αとβの合計を定義するには、次のように進めます。まず、 αの要素と区別できるようにβの要素の名前を変更します。次に、序数αの要素が l ‘ 順序で左に書き込まれます。 βの要素の次数を定義します。
より正式には、 α + βは超限帰納法によって次のように定義されます。
- α + 0 = α
- α + (β + 1) = (α + β) + 1
- βが限定順序数の場合、 $$ {\alpha + \beta = \cup_{\gamma < \beta} (\alpha + \gamma)} $$、 γ < βの場合のα + γの順序制限 (または上限)。
いくつか例を挙げてみましょう。
ω は最初の無限序数であり、自然数のセットに対応します。 ω + ω を視覚化してみましょう。 ωの 2 つのコピーが順番に配置されます。 {0<1<2<…} を最初のコピー、{0′<1′<2′,…} を 2 番目のコピーとすると、 ω + ω は次のようになります。
- 0 < 1 < 2 < 3 < … < 0′ < 1′ < 2′ < …
この序数はωとは異なります。 ωでは、直接の先行要素を持たない要素は 0 だけですが、 ω + ωでは、0 と 0′ には直接の先行要素がありません。
ここで3 + ωとω + 3 を考えてみましょう。
- 0 < 1 < 2 < 0′ < 1′ < 2′ < …
- 0 < 1 < 2 < … < 0′ < 1′ < 2′
名前を変更した後、最初のものはω自体に相当しますが、2 番目のものはそうではありません。したがって、 3 + ω = ωですが、 ω < ω + 3になります。また、正式な定義を使用すると、 ω + 3 はω + 2の後継であり、 3 + ωは極限順序数、つまり3 + 0.3 + 1.3 + 2 の極限順序和集合であり、これはなしであることもわかります。 ω自体以外。
したがって、加算は可換ではありませんが、一方で、結合であることを示すことができます。
たとえば、 (ω + 4) + ω = ω + (4 + ω) = ω + ω
次のことも示すことができます。
- $$ {\gamma+\alpha = \gamma+\beta \Longrightarrow \alpha = \beta} $$
したがって、左側は簡略化されています。一方、右側には単純化がありません。次の理由からです。
- 3 + ω = 0 + ω = ωおよび$$ {3 \neq 0} $$
同様に、次のものがあります。
- $$ {\alpha < \beta \Longrightarrow \gamma + \alpha < \gamma + \beta} $$
しかし、右側のγとの類似関係は誤りです。私たちには以下のものしかありません:
- $$ {\alpha \le \beta \Longrightarrow \alpha+\gamma \le \beta+\gamma} $$
β以下の任意の序数αについて、 α + γ = βとなるような固有の序数γが存在することを示します。 γ はβとαの差と呼ばれます。 αが厳密にβより大きい場合、この差はゼロであることに同意します。
乗算
2 つの序数αとβ を乗算するには、 βの要素を順番に書き込み、それぞれをαの要素の順序付きリストの異なるコピーに置き換えます。 αβで示される一意の序数を定義する整然としたセットが得られます。
より正式には、積は超有限漸化によって定義されます。
- α0 = 0
- α(β + 1) = αβ + α
- βが限定順序数の場合、 $$ {\alpha\beta = \cup_{\gamma < \beta} (\alpha\gamma)} $$、 γ < βの場合のαγの順序限界 (または上限)。
ω2は次のとおりです。
- 0 0 < 1 0 < 2 0 < 3 0 < … < 0 1 < 1 1 < 2 1 < 3 1 < …
そして、 ω2 = ω + ωであることがわかります。
一方、 2ωは次のようになります。
- 0 0 < 1 0 < 0 1 < 1 1 < 0 2 < 1 2 < 0 3 < 1 3 < …
名前を変更すると、 ω が認識されるため、 2ω = ωになります。したがって、序数の乗算は可換ではありませんが、一方で、結合であることを示すことができます。
製品の主な特性は次のとおりです。
- α0 = 0α = 0
- α1 = 1α = α
- α < βおよび$$ {\gamma width=} $$0 \Longrightarrow \gamma\alpha < \gamma\beta” > ですが、 γ側を変更すると、厳密な不等式が誤りになる可能性があります。
- たとえば、 1 < 2ですが、 1ω = 2ω = ω です。一方、次のようなものがあります。
- $$ {\alpha \le \beta \Longrightarrow \alpha\gamma \le \beta\gamma} $$
- γα = γβおよび$$ {\gamma width=} $$0 \Longrightarrow \alpha = \beta” > (左の単純化)。上の例は、右の単純化がないことを示しています。
- $$ {\alpha\beta = 0 \Longrightarrow \alpha = 0} $$またはβ = 0
- α(β + γ) = αβ + αγ (左分配性)。一方、右側には分配性はありません。
- 確かに、 (ω + 1)2 = ω + 1 + ω + 1 = ω + ω + 1 = ω2 + 1であり、 ω2 + 2ではありません。
- α を序数、 β > 0とします。次に、 α = βγ + δとなるような一意の序数γと一意の序数δ < βが存在します。これは一種のユークリッド除算です。
べき乗
さて、序数の累乗に移りましょう。
有限の指数については、積に戻ることができます。たとえば、 ω 2 = ωω です。しかし、この序数は、次の辞書編集順に従って並べられた整数のペアのセットとして視覚化できます。ここで、右側の整数の順序は、左側の整数の順序よりも重みが高くなります。
- (0.0) < (1.0) < (2.0) < (3.0) < … < (0.1) < (1.1) < (2.1) < (3.1) ) < … < (0.2) < (1.2) < ( 2.2) < …
同様に、有限のnについては、 ω n は整数のnタプルの集合とみなすことができます。
この手順をω ωに拡張しようとすると、次の結果が得られます。
- (0,0,0,…) < (1,0,0,0,…) < (2,0,0,0,…) < … <
- (0,1,0,0,0,…) < (1,1,0,0,0,…) < (2,1,0,0,0,…) < .. 。
- (0,2,0,0,0,…) < (1,2,0,0,0,…) < (2,2,0,0,0,…)
- <…<
- (0,0,1,0,0,0,…) < (1,0,1,0,0,0,…) < (2,0,1,0,0,0,. ..)
- <…
テーブルの各要素は整数の無限シーケンスですが、シーケンスを取得する場合、このように定義された順序は適切な順序ではありません。有限数の非ゼロ要素のみを持つ整数のシーケンスに限定することで、このような良好な順序が得られます。
より一般的には、 α β を計算するには、 βのコピーのシーケンスを作成します。各シーケンスでは、有限数の要素のみが非ゼロであるという制限付きで、各要素をαの要素の 1 つで置き換えます。
より正式には、 α β は次のように超有限漸化によって定義されます。
- α0 = 1
- α β + 1 = α β α
- β が制限序数であり、 α > 0の場合、 $$ {\alpha^\beta = \cup_{\gamma < \beta}(\alpha^\gamma)} $$。 α = 0の場合、$$ {\beta \ge 1} $$その場合、 α β = 0 となります。
1 ω = 1 、 2 ω = ω 、 2 ω + 1 = ω2 = ω + ωであることがわかります。
べき乗のいくつかのプロパティを次に示します。
- 1 α = 1
- γ > 1の場合$$ {\alpha < \beta \iff \gamma^{\alpha}<\gamma^{\beta}} $$
- $$ {\alpha \le \beta \Longrightarrow \alpha^{\gamma} \le \beta^{\gamma}} $$。私たちは次のことに注意します。
- 2 < 3ただし2 ω = 3 ω = ω
- α > 1および$$ {\beta width=} $$0 \Longrightarrow”> 次のような一意の序数δが存在します。$$ {\alpha^{\delta} \le \beta <\alpha^{\delta+1}} $$
- α β α γ = α β + γ
- (α β ) γ = α βγ
- β > 0およびα > 1の場合、固有の分解が存在します。 $$ {\beta = \alpha^{\beta_n}\gamma_n + \cdots + \alpha^{\beta_0}\gamma_0} $$すべてのiについて、 0 < γ i < αであり、指数β i は厳密に増加します。これは、 βを基数αに分解するようなものになります。
注: 序数のべき乗は基数のべき乗とはほとんど関係がないことに注意してください。たとえば、序数では2 ω = ω で可算ですが、基数では、
超有限序数のシーケンスは次のように始まります。
- $$ {\omega < \omega + 1< \omega + 2 < \dots < \omega+\omega = \omega 2 < \dots < \omega 3 < \dots < \omega\omega = \omega^2 < \dots < \omega^\omega < \omega^{\omega^\omega} < \dots} $$
有限順序数とωのみを使用して有限回の算術演算を実行しても取得できない超有限順序数があります。それらの最小のものはε 0と呼ばれ、価値があります。
カントール標準形
序数を操作するには、単一のスクリプトを使用する方が簡単です。小さな序数の場合、次のことが可能です。ε 0 を次のような最小の序数とします。
β i は、もちろん、次の型の序数を与える正規形式でも表現する必要があります。
序数の演算が簡単になります。
- 加算 ω β c + ω β’ c’=
- ω β’ c if β<β’
- β>β’ の場合は既約
- ω β (c+c’) β=β’ の場合
- 乗算は ω β c のままです。ω β’ c = ω β+β’ c。
この正規形の変形例を以下に示します。
序数の使用
集合論に特有の使用法とは別に、序数は次の分野で使用されます。
算数では
グッドスタインの定理は、その証明が順序数の理論に基づいている算術定理です。この定理は、特定の整数値のシーケンスが最終的に値 0 を取るかどうかという疑問を投げかけます。この整数値のシーケンスには、厳密に減少する順序数のシーケンスが関連付けられます。順序数が正しい順序であれば、そのようなシーケンスは事実上有限になります。
分析中
序数は、三角級数の収束に関するカントールの研究に基づいて定義されました。そのようなシリーズがゼロオンの場合
P n がすべて空でない場合、この結果を拡張しようとします。次に彼は次のように定義します
ルネ・ベレは、連続関数のシーケンスを不連続関数に向けて単純に収束させるために、このアプローチを採用します。彼は、可約部分P を、 P αが空であるような序数α が存在する部分として定義します。次に、Baire は、 f が不連続な点の集合が既約集合となるような関数である場合、 f は一連の連続関数の単純極限であることを示します。
それ以外の場合、 P αのシーケンスは集合P Ωで安定します。ここで、 Ω は最初の非可算序数を示します。 P Ω が完全集合であることを示します。
トポロジ内
Γ を序数とします。 [0,Γ] をΓ 以下の序数のセットと表します。このセットには、パーツを前提としてトポロジー構造を提供できます。
したがって、 Γ = ωとすれば、 [0,ω[が集合
最初の非可算序数をΓ = Ωとする場合、 Ω は[0,Ω[の固着に属しますが、厳密にΩよりも低い数列はΩに収束できません。特に、 Ω は近傍の可算基底を認めず、この場合に認められるのは[0,Ω]の唯一の点です。
任意の空間[0,Γ]では、 α + 1の形式の点が分離されます。 [0,Γ]はコンパクト空間です。 [0,Γ]と[0,Γ[]は通常の位相空間です。