エジプトの分数 – 定義

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エジプト分数は、単位分数、つまり、1 に等しい分子と正の整数の分母を持ち、これらの分母がすべて互いに異なる分数の合計です。

すべての正の有理数は、無限の異なる方法でこの形式で記述できることがわかります。

実際、例のように項を繰り返すことで、すべての分数を単位分数の合計で表すことは簡単です。

$$ {\frac{2}{5} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5}\,} $$

。

しかし、古代のエジプト人のように、すべての分母が明確であることを要求する場合でも、アイデンティティのおかげでこの表現は可能です。

$$ {\frac{1}{a} = \frac{1}{(a+1)} + \frac{1}{a(a+1)}\,} $$

中世ヨーロッパの偉大な数学者レオナルド・フィボナッチによって 1202 年にはすでに知られていました。

したがって、上の例を使用すると、2/5 = 1/5 + 1/6 + 1/30 となります。したがって、単位分数のそれぞれに同じ処理を適用すると、2/5 は多数のエジプト分数として表現できます。

同じ結果は、調和系列を使用して実証できます。

すべての正の有理数a / b はエジプト分数として記述できることがわかります。古代エジプト人が分数を表すために使用していたこのタイプの合計は、中世を通じて引き続き研究の対象となりました。現代の数学表記では、エジプトの分数は普通の分数と 10 進表記に置き換えられています。それにもかかわらず、エジプトの分数は、現代の整数理論やレクリエーション数学、さらには古代数学の現代史研究において研究の対象であり続けています。

この記事では、古代と現代のエジプトの部分について知られていることを要約します。ここで取り上げるトピックの詳細については、リンク先の記事を参照してください。

古代エジプトの分数

この特性により、古代エジプト人はすべての有理数を簡単に表現できるようになりました。

私たちが単位以外の分子で書く分数は、分母のうち 2 つが同じでない単位分数の合計として古代エジプト人によって書かれました。

部分を意味する開いた口の形をした象形文字は、分子 1 を表すために使用されました。

分数は上にこの象形文字、下に分母を使って書きました。 1/3 は次のように書かれました。

$$ {= \frac{1}{3}} $$

1/2 などの最も一般的な分数と、2/3 と 3/4 の 2 つの非単位分数には特別な記号がありました。

分母が広すぎる場合は、「口」が分母の先頭に配置されます。

$$ {= \frac{1}{331}} $$

を使用するのはあまり便利ではありませんが、エジプト人によって課されたエジプトの分数での有理数の表現により、一方の分数が他方の分数よりも大きいことをすぐに判断することができます。

例 ：

• 55/84 = 1/2 + 1/7 + 1/84
• 7/11 = 1/2 + 1/8 + 1/88

したがって、これら 2 つの数値の差は約 2% しかありませんが、有理数 55/84 は 7/11 よりも明らかに大きいです。

リンド・パピルスの「二人のテーブル」

ロンドンの大英博物館に所蔵されているリンド・パピルス（1650年頃）は、古代の数学的知識を私たちに伝える最も重要な文書です。算術、代数学、幾何学、測量などの 87 の問題が解決されています。しかし、これらの問題に気づく前に、エジプト人は非単位分数を単位分数に直接分解できるように自由に使えるさまざまなテーブルを用意しておく必要があります。これらの表の 1 つ、いわゆる「2 つの表」は、リンド・パピルスの最初の位置にあります。分子が 2、分母が 3 から 101 まで変化する分数をリストし、単位分数の合計でそれらに相当する値を示します。

2 つのテーブルを単位分数に分解する例をいくつか示します。

これらのさまざまな結果は、古代エジプト人が分割手法を適用することによって得られました。

2/5の例:

(1 + 2/3) + 1/3 = 2 したがって、結果は 1/3 + 1/15 となります。

リンド・パピルスの例

パピルスの問題番号 24 は次のとおりです。 7 番目の数字を足すと 19 になります。この数字は何ですか?

現代の記号形式では、答えは自明です: x + x/7 = 8x/7 = 19、または x = 133/8。

しかし 4,000 年前には、分数微積分と代数記号は実際には存在していませんでした。実際、問題は方程式自体の解決ではなく、方程式と、実際的な代数的アプローチがない場合に単純な形式 ax = b に到達することの難しさにあります。

これを行うために、エジプト人はいわゆる偽位置法を使用しました。これは、観察された差を利用した適切なアルゴリズムによって、考慮されている問題の解決につながる近似 (偽) 解を提供することからなる代数的解決方法と呼ばれます。

この例では、最初のアイデアは、「近似」解 (偽の位置) として 7 を選択することで迷惑な分母を取り除くことです。筆記者は、7 番目に増加した数の計算で 8 を取得します。次に、次のアルゴリズムを暗黙的に使用します (x’ = 7 および c = 8)。

ax = b かつ ax’= c の場合、ax/ax’ = b/c または x = x'(b/c)

これはまさにパピルスで提案されていることです。19 を 8 で割ると 2 + 1/4 + 1/8 が得られ、すべてに7 = 1 + 2 + 4 を掛けると、(2 + 1 /4 + 1/ 8) + (4 + 1/2 + 1/4) + (9 + 1/2)、または 16 + 1/2 + 1/8。