円周率 – 定義

導入

円周率(またはアルキメデスの定数) は、通常は同じ名前のギリシャ文字πで表される数値で、ユークリッド幾何学では一般に円の円周とその直径の比として定義されます。円の面積とその半径の二乗の比としても定義できます。 10^ ^-6に四捨五入された円周率の値は、10 進表記で 3.141593 になります。物理学、工学、そしてもちろん数学などの分野の多くの公式には、数学で最も重要な定数の 1 つである π が含まれます。

π は無理数です。つまり、2 つの整数の比として表すことはできません。これは、その 10 進表記が有限でも周期的でもないことを意味します。これは超越数でもあり、π が根である整数係数を持つ非ゼロ多項式は存在しないことを意味します。この結果は 1882 年にフェルディナント フォン リンデマンによって証明されました。十分に正確な π の近似値を決定し、その性質を理解することは、数学の歴史にわたる問題です。一部の人がこの数字に対して表現した魅力は、この数字を大衆文化に持ち込んだことさえあります。

「 περίμετρος 」（ギリシャ語で周囲）の最初の文字であるギリシャ文字 π がこの意味で使用されるようになったのは18^世紀になってからです。

定義と最初のプロパティ

意味

辞書や一般的な書籍では、π は円の円周とその直径 (必然的にユークリッド平面である通常の平面内) の間の一定の比率として定義されています。

$$ { \pi = \frac{C}{d}. } $$

この比率は、選択した円、特にそのサイズには依存しません。ユークリッド平面内のすべての円は相似です。たとえば、ある円の直径d が別の円の 2 倍である場合、その円周Cも 2 倍になります。

π は円の表面積とその半径の二乗の比でもあることを示します。

$$ { \pi = \frac{A}{r^2}. } $$

この幾何学的な定義は、歴史的に初めてのものであり、非常に直観的なものですが、数学者が π を厳密に定義したい場合には、最も直接的なものではないことがわかりました。より専門的な研究では、幾何学を参照せずに導入された三角関数自体を使用した実際の解析によって π を定義します (以下を参照)。

代替の定義

よく使用される選択は、cos( x ) = 0 となる最小の正の数xの 2 倍として π を定義することです。別の可能な定義は、プロパティ exp(z+w)=exp(z)exp(w) と を考慮することによって可能になります。 exp(0)=1 これは指数関数の分析的定義から得られ、アプリケーションを作成します。

群の連続群射です。 グループに （またはは 1 に等しい係数を持つ複合体のセットです)。次に、exp(it) = 1 となる実数 t の集合が次の形式であることを示します。 ここで、 a は厳密に正の実数です。次に、 π = a / 2を設定します。積分計算により、この抽象定義がユークリッド幾何学の定義に対応していることを検証できます。

ブルバキのグループは、次の連続群f射の存在を証明することにより、非常によく似た別の定義を提案しています。

に向かって f (1/4) = iとなります。彼は、この射が周期 1 で微分可能であり、すべての実数 x に対してf'(x) = 2iaf(x)となるような実数aが存在することを証明しました。彼は π をこのようにして求められた実数として定義します。

前の 2 つの方法は実際には、関数によって定義した円の周囲長を計算することで構成されています。

または関数

しかし、次のようにして積分計算を使用して π を定義することもできます。

$$ { {\pi \over 4} =\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\ dx\,} $$

これは、半径 1 の円盤の 4 分の 1 の面積を計算することになります。

または、呼び出してカウントを使用する

次のような自然数のペア (k, p) の数。 そして次のように定義します。

$$ {\frac{\pi}{4}= \lim_{n \mapsto \infty} \frac{\varphi(n)}{n^2}} $$

これは、4分の1円板の面積を計算する別の方法です。

不合理

π は無理数です。つまり、 pとq が整数である場合にπ=p/qと書くことはできません。 9 世紀のアル・ハワリズミは^、 π が無理数であると確信しました。モーゼス マイモニデスも 12^世紀にこの考えについて言及しました。しかし、ヨハン・ハインリヒ・ランベルトがこの結果を証明したのは¹⁷世紀になってからでした。

後者が著書『超越円周量および対数量のいくつかの顕著な性質に関する回想録』の中で、三角関数の連分数tanの発展を研究し、tan(m / n) は、m および n のゼロ以外の整数で、無制限です。もっと詳しく書いてあるよ

$$ {\tan \left(\frac mn\right) = \frac{m \mid}{\mid n} – \frac{m^2 \mid}{\mid 3n} – \frac{m^2 \mid}{\mid 5n} – \frac{m^2 \mid}{\mid 7n} + \cdots } $$

ただし、連分数としての展開が無限である数は無理数であることがわかっているため、x がゼロ以外の有理数の場合、tan(x) は無理数になります。さて、tan(π/4) は 1 であり、有理数です。対偶によって、π/4、つまり π が有理数ではないことが証明されます。

²⁰世紀には、積分微積分の知識より高度な知識を必要としない他の実証も見つかりました。そのうちの 1 つは、Ivan Niven のおかげで非常に広く知られています。同様の証拠はメアリー・カートライトによって以前に発見されていた。

超越性

π は超越数でもあります。つまり、π を根とする有理係数を持つ多項式は存在しません。

この結果が実証されたのは 19^世紀になってからです。 1873 年、チャールズ エルミットは自然対数の底である数値 e が超越的であることを証明しました。 1882 年、フェルディナンド フォン リンデマンは、自分の推論を定理(エルミート リンデマンの定理) に一般化しました。この定理では、x が代数的でゼロと異なる場合、 e ^{x は}超越的であると述べられています。ここで e ^iπ = -1 したがって、e ^{iπ は}超越ではありません。対偶とは、iπ は代数的ではなく、π は超越的です。

π の超越の重要な結果は、それが構成不可能であるということです。実際、 Wantzel の定理は、構成可能なすべての数が代数的であると特に述べています。定規とコンパスで作成できるすべての点の座標は作成可能な数値であるため、円を正方形にすることは不可能です。言い換えれば、定規とコンパスだけを使って、与えられた円の表面積と等しい表面積を持つ正方形を構築することは不可能です。

10進数表現

π の 10 進表記の最初の 100 桁は次のとおりです。

3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067の場合、小数点以下の桁数については「 」を参照してください。

2007 年時点では、π の小数点以下 10 ¹²桁以上が知られていますが、円周の推定など、多くのアプリケーションでは 10 桁程度しか必要ありません。たとえば、小数点以下 39 桁に切り捨てられた π の 10 進表現は、水素原子の半径に匹敵する精度で観測可能な宇宙の寸法である円の円周を推定するのに十分です。

π は無理数であるため、その 10 進表現は周期的ではなく、終わりません。 π の小数点以下の桁数は常に数学者やアマチュアを魅了しており、より多くの小数点以下の桁数を取得し、その特定の特性を調査するために多大な努力が払われてきました。広範な分析作業が実施され、π の小数点以下 2,000 億桁以上を決定することに成功した計算にもかかわらず、これらの数値のシーケンスを説明する単純なモデルは見つかっていません。 π の小数表現の数値は多くの Web ページで入手できます。また、π の小数点以下の桁数を計算するソフトウェアがあり、数十億個の数値を生成でき、パーソナル コンピューターにインストールできます。

さらに、π を10 進数展開すると、他の疑問、特に π が正規数であるかどうか、つまり 10 進数表記の桁が均等に分布しているかどうかを知る分野が開かれます。また、π が宇宙数であるかどうかを尋ねることもできます。これは、その 10 進展開で任意の数字のシーケンスを見つけることができることを意味します。 2006 年現在、これらの質問に対する答えはありません。

分数表現

次の整数分数は、計算で Pi を保存または近似するために使用されます (括弧内の有効数字の数): 3/1( 1 ); 22/7 ( 3 ); 333 / 106 ( 5 ); 355/113 ( 7 ) ; 103993/33102( 9 ); 104348 / 33215 ( 10 ); 208341 / 66317 ( 10 )、PI= 3.141 592 653 589 793 238 462 … と比較します。

他の分数のアプローチ (履歴、数値近似、連分数、Pi#Memorizing π) については以下を参照してください。

πの近似

π の近似値は、円を描き、その直径と円周を測定し、円周を直径で割ることにより経験的に求めることができます。アルキメデスによる別の幾何学的なアプローチは、 n個の辺を持つ正多角形の周囲長P _{n を}計算し、その外接円または内接円の直径dを測定することから構成されます。多角形の辺の数が増えるほど、π の値の精度が向上します。

アルキメデスは、辺の数が同じで、一方の円は外接円、もう一方の円は内接円である 2 つの正多角形を使用して、公式によって得られた結果を比較することによって、このアプローチの精度を判断しました。彼は、96 角形の多角形を使用して、 3 + ¹⁰ ⁄ ₇₁ < π < 3 + ¹ ⁄ ₇を決定することに成功しました。

純粋に数学的な方法のみを実装することによって、π の近似値を取得することもできます。 π の計算に使用される公式のほとんどはその数学的特性に基づいており、それらを理解するには三角法と積分の知識が必要です。ただし、ライプニッツの公式のように、この欠陥がないものもあります。

$$ {\pi = 4\sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k}{2k+1} = \frac{4}{1}-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}\cdots.\! } $$

この級数は収束が非常に遅いため、π を小数点以下 2 桁まで計算するにはほぼ 300 の項が必要になります。ただし、次のように設定することで、より早く π に収束する同様のシーケンスを定義することができます。

$$ {\pi_{0,1} = \frac{4}{1},\ \pi_{0,2} =\frac{4}{1}-\frac{4}{3},\ \pi_{0,3} =\frac{4}{1}-\frac{4}{3}+\frac{4}{5},\ \pi_{0,4} =\frac{4}{1}-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}, \cdots\! } $$

そして次のように定義します。

$$ {\pi_{i,j} = \frac{\pi_{i-1,j}+\pi_{i-1,j+1}}{2}\text{ pour tout }i,j\ge 1} $$

。

π _10.10の計算には、初期級数の最初の 150 項を計算するのに必要な時間と同様の時間が必要ですが、精度ははるかに優れています。 $$ {\pi_{10,10}=3.141592653\ldots} $$