導入
| ベクトル解析の記事 |
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| 研究対象 |
| ベクトルフィールド | スカラーフィールド |
| 偏微分方程式 |
| ラプラス著 | 魚 |
| オペレーター |
| ナブラ | 勾配 |
| 回転 | 発散 |
| スカラーラプラシアン | ビラプラシアン |
| ベクトルラプラシアン | ダランベルティアン |
| 定理 |
| by グリーン | ストークス著 |
| ヘルムホルツ著 | 流れの分岐の |
| グラデーションの | 回転式 |
ベクトル解析におけるラプラス方程式は2 次偏微分方程式であり、その名前は数理物理学者ピエール シモン ド ラプラスにちなんで付けられています。
ニュートン力学の必要性のために導入されたラプラス方程式は、天文学、静電気学、流体力学、熱伝播、拡散、ブラウン運動、量子力学など、理論物理学の他の多くの分野に登場します。
ラプラス方程式の解関数は調和関数と呼ばれます。
三次元のラプラス方程式
3次元ユークリッド空間の デカルト座標では、問題は 2 次偏微分方程式を満たす 3 つの実数変数ψ( x , y , z )を持つすべての関数を見つけることで構成されます。
$$ { \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} \ + \ \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} \ + \ \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} \ = \ 0 } $$
記述を簡素化するために、前の偏微分方程式がコンパクトに記述されるように、 Δで示され、ラプラス演算子または単にラプラシアンと呼ばれる微分演算子を導入します。
$$ { \Delta \psi \ = \ 0} $$
ポアソン方程式
右辺が与えられた関数f ( x , y , z )の場合、ポアソン方程式が得られます。
$$ {\Delta \varphi = f} $$
2次元のラプラス方程式
2次元ユークリッド空間のデカルト座標では、問題は、次を満たす 2 つの実数変数V ( x , y )を持つすべての関数を見つけることで構成されます。
$$ { \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} \ + \ \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} \ = \ 0 } $$
任意の正則関数は、実数部と虚数部によって 2 次元のラプラス方程式の解を与えることを示します。さらに、これらの解はすべての点で直交しています。
正則関数に関する注意事項
複素係数を持つ多項式関数はすべて正則です。
$$ {\mathbb C} $$
;三角関数や指数関数も同様です。 (三角関数は、オイラーの公式を使用して指数関数から定義できるため、実際には指数関数に比較的近いものです)。
- 対数関数は、負の実数の半直線が取り除かれた複素数の集合上で正則です (「カット」について話します)。
- 逆三角関数も同様に切れ目があり、切れ目以外はどこでも正則です。
- 逆関数
$$ {z\mapsto 1/z} $$
は正則です$$ {\mathbb C^*} $$
。
ラプラス方程式と正則関数の結果
第一定理
複素変数: z = x + i y ( i 2 = − 1)を導入し、正則関数F ( z )を定義します。導出により、次のことがわかります。
$$ { \frac{\partial F}{\partial x} \ = \ \frac{\mathrm d F}{\mathrm dz} \ \frac{\partial z}{\partial x} \ = \ F'(z)} $$
その間 ：
$$ { \frac{\partial F}{\partial y} \ = \ \frac{\mathrm dF}{\mathrm dz} \ \frac{\partial z}{\partial y} \ = \ i \ F'(z)} $$
。 2 回微分すると、同様の方法で次の結果が得られます。
$$ { \frac{\partial^2 F}{\partial x^2} \ = \ F”(z)} $$
その間 ：
$$ { \frac{\partial^2 F}{\partial y^2} \ = \ – \ F”(z)} $$
和はゼロなので、正則関数F は実際にラプラス方程式の解になります。
$$ { \frac{\partial^2 F}{\partial x^2} \ + \ \frac{\partial^2 F}{\partial y^2} \ = \ 0 } $$
注: 正則関数は常に実数部と虚数部への分解を許可します。
$$ {F(z) \ = \ V(x,y) \ + \ i \ \phi(x,y)} $$
実数部と虚数部を別々にキャンセルすると、 2 つの独立したラプラス方程式が得られます。
$$ { \frac{\partial^2 V}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 V}{\partial y^2}=0 \qquad \mathrm{et :} \qquad \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}=0} $$
第二定理
デモンストレーション
次のように書くことができます:
$$ { \frac{\partial F}{\partial x}\ = \ F'(x+iy) \ = \ \frac{\partial V(x,y)}{\partial x} \ + \ i \ \frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial x} } $$
そして ：
$$ { \frac{\partial F}{\partial y} \ = \ i F'(x+iy) \ = \ \frac{\partial V(x,y)}{\partial y} \ + \ i \ \frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial y} } $$
私たちは次のように推測します。
$$ { \frac{\partial V(x,y)}{\partial x} \ = \ \frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial y} \qquad \mathrm{et :} \qquad \frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial x} \ = \ – \ \frac{\partial V(x,y)}{\partial y} } $$
または最後に:
$$ { \frac{\partial V(x,y)}{\partial x} \cdot \frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial x} \ + \ \frac{\partial V(x,y)}{\partial y} \cdot \frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial y} \ = \ 0 } $$
ここで 2 つのベクトルのスカラー積がわかります。
このことから、「 V(x,y) = 定数」と「 φ(x,y) = 定数」の曲線は垂直であることが推測されます（共形変換）。つまり、「 V(x,y) = 定数」が同じ電位の曲線を表す場合、「 φ(x,y) = 定数」は静電気力学における電力線を表すことになります。
