ヘアリーボール定理について詳しく解説

導入

球上のベクトル場が一定の長さの毛でシンボル化されている場合、毛玉定理は、球には少なくとも 1 つのスパイクが含まれていることを示します。この図には、各極に 1 つずつ、計 2 つが含まれています。

トーラスでは状況が異なります。

数学では、ヘアリー ボール定理は微分トポロジーの結果です。これは、サーフェスに接する髪の毛として想像されるベクトルを各点でサポートする球に適用されます。彼は、ベクトルを球の各点に関連付ける関数には少なくとも 1 つの不連続点が認められ、これはヘアスタイルに穂軸が含まれているか、毛がゼロである、つまりはげていると言うのと同じであると断言します。

より厳密には、少なくとも 2 に等しい偶数次元の球上の連続ベクトル場は、少なくとも 1 つの点で消滅します。

この定理は、1912 年にルイツェン・エグベルトゥス・ヤン・ブラウワーによって初めて実証されました。このアプローチは、ジョルダンの定理や、 n次元の実球の連続微分可能関数に関するレオポルド・クロネッカーの研究など、過去に実証された結果を一般化します。 –次元ベクトル空間。これらの結果は直感的に容易に理解できますが、厳密なデモンストレーションを行うには、場合によっては技術開発が必要です。同様の結果の典型的な例は、Brouwer の不動点定理です。それは、有限次元のユークリッド ベクトル空間の閉球をそれ自体に連続的に適用すると、固定点が認められると述べています。以下で説明するように、Brouwer の不動点定理はヘアリー ボール定理から演繹することができます。

定理の直感的な表現

直観的には、巻き毛ではなく柔らかい毛で覆われた球体が想像できます。球体の各点は毛の根元です。髪が生えている点で球に接する平面上の髪の投影を考慮します。これらの投影はすべて、球上の接線ベクトルのフィールドについての良いアイデアを与えます。次に、ボールの表面で髪を平らにし、不連続性を避けることによって、この髪をスタイリングしようとします。部分を作成せず、髪が相互に関連して突然方向を変えることを許可しません。定理によれば、この結果を達成することは不可能です。何をするにしても、少なくとも 1 つのスパイク、つまり髪の毛が立ち上がる場所が形成されます。

通常の球体の視覚的なデモンストレーション

私たちは、3 次元空間の通常の球面上では決して消えることのない接線で連続的なベクトル場は存在し得ないことを証明したいと考えています。私たちはばかばかしい推論をするので、球面上に連続的で決して相殺されない接線ベクトルのフィールドが存在すると仮定します。

私たちは勇敢なオレンジ色に赤道、北極極円、南極極円を描き、緯線に沿って東方向にのみ移動することに同意します。北極と南極地域に接線ベクトル場を描きます。このベクトル場はほぼ一定の方向を持っており、それが風であると想像できます。このような広大な領域にわたって風の向きがほぼ一定であると読者が考えるのが気になる場合は、これらの領域を考慮に入れれば十分です。また、風を表すベクトル場は連続的であると想定されているため、確実に次のようなことが起こります。測定精度の範囲内で、風が一定の方向に吹くのに十分な小さな領域。

次に、紙の置物で表されるモバイル マーカー、Marinette を紹介します。マリネットはオレンジの平行に沿って動くことができ、写真を撮るには、紙でマリネットを作り、平らなプラスチックの頭が付いた長いピンに接着する必要がありました。マリネットが前進するとき、彼女は最初の基本ベクトルの方向をとります。彼の左手は2 番目の基底ベクトルの方向にあり、マリネットの足から頭までの方向は 3 番目の基底ベクトルの方向であるため、直接のランドマークが形成されます。

マリネットは緯線に沿って東に移動しながらオレンジ色の周りを回り、風の吹く方向を観察します。彼女が北極圏の東を回るとき、風はこのように彼女の頭の周りを向きます。風は彼女の背中にあり、次に左から、次に顔に、右から、そして再び背中に吹いています。マリネットは数学者の慣例を知っているので、彼女に対して、風は逆行方向に 1 回転することは、時計回りに 1 回転するのと同じであると言います。

マリネットが南極圏の東を回るとき、風は背中にあり、次に右から、次に顔に、次に左に、そして再び背中に風を受けます。したがって、マリネットに対して、風は順方向に 1 回転します。これは、反時計回りに進むのと同じです。

マリネットは東に移動しながら北極圏に沿って北極を周回しますが、彼女の隠れ家では風が彼女の周りを一度マイナスの方向に向きます。

マリネットは東に移動しながら南極圏に沿って南極を周回します。マリネットの隠れ家では、風が彼女の周りを正の方向に 1 回転します。

何が起こるかを想像するために実際に赤道を回る必要はありません。風が赤道沿いのどこにでも吹くと、マリネットが進む道で風はマリネットの周りを一定回数回転します。ターン数はわかりませんが、整数、正、負、またはゼロになることはわかっています。また、風がどこにでも吹く緯線では、風がそれに関連して全回転することもわかっています。最後に、風の回転数は緯度に応じて連続的でなければならないと言います。平行線上では風が 5 回転するのに、少し北に行くと 4 回転しかできないと想像してみましょう。この場合、風はどこかで相殺されるか、不連続になります。

さて、マリネットを使って、毛玉の定理を証明する方法がわかりました。風がオレンジ色の地球上のあらゆる場所で連続的に変化しながら吹いている場合、平行線を東に進む旅行者との関係でのその回転数は緯度に依存しません。ただし、北極に非常に近い緯線では -1 回転し、南極に非常に近い緯線では +1 回転します。だから矛盾があるんです！