導入
数学、より正確には統計と確率では、標準偏差は平均値を中心とした一連の値の分散を測定します。
確率の領域では、標準偏差は正の、場合によっては無限の実数であり、平均値付近の 実確率変数の分布を特徴付けるために使用されます。特に、平均と標準偏差は、実パラメータを使用してガウス法則を完全に特徴付けるため、ガウス法則をパラメータ化するために使用されます。より一般的には、分散と呼ばれる標準偏差の2 乗により、高次元でのガウス法則の特徴付けが可能になります。これらの考慮事項は、特に中心極限定理の適用において重要でないわけではありません。
統計学、特に測量理論や計量学では、標準偏差は無作為サンプルから母集団全体の分散を評価しようとします。次に、(偏った) 経験的標準偏差と修正された経験的標準偏差を区別します。その式は、確率で使用されるものとは異なります。
標準偏差は、調査、物理学(誤って RMS (二乗平均平方根) と呼ばれることが多い)、または生物学の両方で多くの用途があります。実際には、反復実験の数値結果を報告することが可能になります。金融では、標準偏差は資産のボラティリティの尺度です。
一般的な
確率と同様に統計では、中心値に加えて分散値も定義します。
確率の領域では、実数確率変数X の平均値付近の分散は分散によって特徴付けられ、分散の計算は数学的期待値の概念に基づいています。
実際には、これは標準偏差、つまり分散の平方根であり、変数と同じ物理的次元を持つため使用されます。この概念は信号の解析にも現れ、多くの場合ランダム プロセスの概念に関連して、一般に二乗平均平方根という名前で使用されます。
完全に既知の有限母集団に関連する記述統計では、中心値と同様に分散値を任意に選択できます (標準偏差、平均偏差、範囲など)。
反対に、 数学的統計は、有限のデータセットを通じてのみ不完全に知ることができる無限の母集団に関係します。
確率的には
アンリ・ルベーグの研究に従った現代の確率の定式化では、確率変数X は、確率法則Pに従うパラメータxに応じて、実数値またはベクトル値を持つマップになります。形式主義を理解するために測定理論が必要な場合でも、その使用法は単純です。アプリケーションX は基本的な役割を果たしません。その法則、つまりP X で示される XによるPのイメージのみが重要です。これはRまたはR nの測定値です。これには 2 つの量が関連付けられています。
- その平均は E[ X ] と記され、期待値とも呼ばれます。
- その標準偏差は一般にσで表されます
ここで、右辺の二乗標高は、 Xがベクトル値である場合の二乗ユークリッドノルムを暗黙的に示します。
この ID は、多数の特定のケースに特化しています。特に:
離散確率
変数の場合
特に、 Xの法則が有限の値セットにわたって一様である場合、次のようになります。
これらの式は、標高の 2 乗をユークリッド ノルムの 2 乗に置き換えることで、すぐに高次元に一般化されます。
一様連続確率
法則P X は、 X がセグメント [a, b] に属する確率が次の場合に一様連続であると言われます。
ここで、 f は、たとえばルベーグ測度の局所的に積分可能な関数ですが、連続関数である必要はありません。この関数f は法則Pの密度と呼ばれます。グローバルに積分可能であり、平方積分可能です。
Xの標準偏差は次のように定義されます。
標準偏差の例
次の表は、一般的に発生する法則の標準偏差を示しています。
| 法律の名前 | 設定 | 説明 | 標準偏差 |
|---|---|---|---|
| ベルヌーイの法則 | p | 値 0 の確率 1- pと 1 の確率pの離散法則 | $$ {\sigma=\sqrt{p.(1-p)}} $$ |
| 二項法則 | pとn >1 | パラメーターp を使用したベルヌーイの法則に従ったn変数の独立和の法則 | $$ {\sigma=\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}} $$ |
| 幾何学の法則 | p | 整数n を取得する確率が (1- p ) となるようなNに関する離散法則。プン | σ = p / (1 − p ) 2 |
| セグメントに関する統一法則 | a < b | 密度のRに関する一様連続法則 [a, b] の指標関数(係数まで) | $$ {\sigma=\frac{b-a}{\sqrt{12}}} $$ |
| 指数法則 | p | 一様連続サポート則R +密度関数 f(x)=p.exp(-px) | σ = 1 / p |