導入
数学、特に代数学では、アーティン・ウェダーバーンの定理は代数または半単純環の構造を扱います。
これは半単純構造の基本定理に相当し、その性質を正確に説明することが可能になります。それらは、不必要な可換体上の加群の準同型性の代数積に対応します。
1907 年にジョセフ ウェダーバーンによって可換体上の代数の文脈で初めて実証され、その後 1927 年にその決定的な形式を見つけるためにエミール アルティンによって環に関して一般化されました。
この定理はいくつかの理論の中心であり、有限群または非有限群の表現、たとえば非可換体の構築を可能にする環の理論、一般に半単純構造の理論を挙げることができます。
ステートメント
この定理にはその歴史を通じていくつかのバージョンがあり、主なバージョンが 3 つあります。
最初のバージョンはバーンサイドの定理に対応しており、単純な代数の場合のみを扱います。
- Eが有限次元ベクトル空間の場合、代数 L K ( E ) は単純です。
この第 2 定理は、現在の用語ではウェダーバーンの定理に対応しており、可換体上の代数を扱います。
- 可換体 K 上の半単純代数は、 Kの超体上の準同型代数の積と同型です。
3 番目のバージョンはリングの観点から表現され、現在ではArtin-Wedderburn の定理と呼ばれています。
- 任意の単純なイデアルがその同型体上で有限次元であるような半単純なリングは、アプリオリな別個の左体上の加群の同型体代数の積と同型である。
ここで問題となっているフィールドは、先験的な左フィールド、つまり非可換です。
半単純代数に関する記事は、Artin のバージョンがすぐに代数に一般化されることを示しています。
デモンストレーション
定義
この段落では、次の表記が使用されます。Kは可換体、 L はK上の代数、 E はK上のベクトル空間を表します。定理を表現するためにいくつかの定義が使用されます。
代数Lも環L上の加群です。この角度にはベクトル空間構造が存在しないため、 L上のサブモジュールには次元の概念がなくなりました。これは次の定義に置き換えられます。
ここでは、 LモジュールとしてのL が半単純であると仮定します。これは、次の定義に対応します。
- S をLのサブモジュールとすると、 F が追加のサブモジュールを許容する場合に限り、 F は直接因子と呼ばれます。
L はモジュールの右側と左側に作用するため、サブモジュールは両面理想となります。
- モジュールL は、すべてのサブモジュールが直接因子である場合に限り、半単純であると言われます。
このような代数は半単純と呼ばれます。モジュールとしてのその構造は次のように知られています。
- 加群Lが半単純である場合、それはそのアイソタイプ成分の直接和になります。
ここで、( S i ) は非同型サブモジュールを 2 つずつ含むという意味での最大族を示し、α i はその同型成分におけるS iのコピーの数を示します。次の定義を使用します。
- モジュールLのサブモジュールSは、それ自体と null セット以外のサブモジュールを含まない場合に限り、単純であると言われます。
- L内のサブモジュールSの同型コンポーネントは、 Sと同型のLのすべてのサブモジュールによって生成されるサブモジュールです。
実証に関する段落全体を通じて、同型成分はS i 、その数n 、多重度α iで示され、 D i はS iの準同型体の反対をLモジュールとして指定します。次の定義を思い出してください。
- Aの反対側のリングは、ここで示されているリングです。 A opには、次のように定義される乗算が与えられます。
バーンサイドデモンストレーション
- E が有限次元 n のベクトル空間である場合、代数L K ( E ) は単純です。
f をゼロ以外の準同型性とする。 f を含む最小の両側イデアルが代数全体であることを示しましょう。 f がゼロでない場合、 fのカーネルに属さないEの要素e 1が存在します。 e 1の画像をfで表すことにします。 Eの基底 ( e i ) でe 1 を完成させましょう。 1 からnまで変化するすべてのiとjについて、イメージe 1 を持つe j を除いて、 p j をゼロ線形マップとし、 q i をaのイメージが次のような線形マップとします。えい。次に、 q i of f o p jの族がfによって生成されたイデアルに含まれます。さらに、このファミリーはL ( E ) のジェネレーターであり、デモは完了です。
このデモンストレーションは、左側のボディのモジュールの場合にも拡張されます。このケースは、半単純代数の場合には、アーティン ウェダーバーンの定理の逆が確立されるため、重要です。
アーティンのデモンストレーション
ウェダーバーンの定理は明らかにアーティンの定理の特殊なケースです。 Artin のデモは比較的単純なので、この記事ではこれのみを示します。
- L が半単純で、すべての同型成分がその同型体上で有限次元である場合、 Siの同型成分は体 D i 上の次元 α iの加群の同型同型の集合と同型であり、 Lは、これらの準同型代数の直接和と同型である。
注: モジュールにはリングとして本体があるため、ここでモジュールの次元について話すのは意味があります。それにも関わらず、身体はアプリオリに残されているため、この構造はベクトル空間の構造ではありません。
まず次の補題を証明しましょう。
- Lの準同型性のセットは、同型成分の準同型性のセットの直接和と同型です。
直接和がLの準同型性の集合に含まれていることは明らかです。
逆に、記事「半単純モジュール」の正準分解の段落では、 S iの同型コンポーネントの単純なサブモジュールはすべてS iと同型であることが示されています。 Schur の補題は、 2 つの単純な非同型モジュール間にゼロ射以外の射が存在しないことを保証します。したがって、 iとjが異なる場合、 S iとS jの同型成分間の唯一の射はゼロ射であり、これでこの補題の証明が完了します。
次に、次の補題を証明します。
- Ｓ ｉの同型成分の同型同型のリングの反対は、体Ｄ ｉ ｏｐ 上の次元α ｉのベクトル空間の同型同型の集合と同型である。
この推論は、前の補題の推論と似ています。 １からα ｉまで変化するｊに対するＳ ｉｊ がＳ ｉの同型成分の直接和分解を表す場合、各因子Ｓ ｉｊ はＳ ｉと同型である。したがって、同型成分の内部同型性のセットは、モジュールS iの内部同型性のセット内の係数行列のセットと同型です。係数のセットは、その反対がD iである体 (必ずしも可換であるとは限りません) です(記事「準単純モジュール」の正準分解を参照) 。次元 α iの正方行列の集合と次元 α iのベクトル空間上の準同型写像の集合との間の正準同型性により、2 番目の補題の証明が完了します。
結論として、 Lの反対はLの準同型性の集合と同型であることに注目すれば十分です。
