導入
代数学では、（不定までの）形式多項式の環は、整数、実数、複素数などの数値と、多くの場合X で示される追加のオブジェクトを含むセットです。多項式のリングのすべての要素は加算と乗算を行います。 2 2 、 X 3 、… のような多項式は線形に独立しており、これらの多項式の自明でない線形結合はゼロではないことがわかります。この記事の目的は、このセット、特にindeterminateと呼ばれるオブジェクトXの厳密な構造を提示することです。
この構造は、 A [X] で示されるこのセットの要素 (多項式と呼ばれる要素) のプロパティを強調します。整数を特徴づける性質、たとえば結合性と可換性のある加算と乗算を見つけます。多項式の加算と乗算には中立的な要素がありますが、加算の場合、すべての多項式に対称がある場合、これは乗算の場合には当てはまりません。要素X には逆関数がありません。つまり、1/ X は多項式ではありません。
係数と呼ばれる数値のセットはA で示されます。これは、前述の数のセットの 1 つとして、または任意の可換かつ単一の環として選択できます (つまり、乗算には一般に 1 で示される中立要素があります)。多項式の係数のセットは、たとえば、多項式または有限体の要素で構成できます。
多項式の環のより一般的な構造は他にもあります。たとえば、「いくつかの不定の多項式」や「非可換多項式の環」で説明されているものなどです。
前文
ストーリー要素
文字を一連の数字に関連付けるという考えは、 3世紀に遡ります。ディオファントスは、文字S (ギリシャ文字のシグマ) を次のように定義しました。 「単位の量が不定である数は算数と呼ばれ、その独特の記号はSです。」整数と有理数に対してのみ機能します。これは、加算と乗算の規則を定義します。 「算術の逆数と算術の 2 乗を乗算すると、算術の3 乗が得られます」 。これは、 S 4がSで割り切れ、結果がS 3に値することを意味します。この考えは、私たちが文字Xを選択した起源として、アラブ文明によって無理数へと徐々に一般化されました。この構築が初歩的であれば、ルネサンスの数学者は次数4 までのすべての方程式を解くことができましたが、この記事で言うところの厳密な構築にはまだ程遠いです。
17世紀には、関数という最初の形式主義が現れました。変数x は文字X を置き換え、多項式は関数になります。この貢献は具体的な結果に変換され、すべての複素数において多項式の次数と同じ数の根が存在することを保証するダランベール-ガウスの定理を示すことが可能になります。
18世紀の数学者ヴァンデルモンドの質問により、形式多項式の概念が再び脚光を浴びることになりました。形式多項式は、加算と乗算を行う文字Xを使用しますが、関数ではありません。彼は根号、つまり有理数、虚数単位i 、4 つの随伴演算、およびn乗根関数を使用して円分方程式を解こうとしましたが、失敗しました。 19世紀初頭にこれを達成したのは最終的にガウスでした。このため、彼は多項式を関数としてではなく、素数に相当するユークリッド除算と素因数への独自の分解を備えた整数に相当するものと考えています。これを行うために、彼はモジュラー算術による合同の係数を持つ多項式を使用します。多項式の係数が合同式で選択される場合、多項式関数と形式多項式は異なります。そして、形式的な側面だけが、この特定のケースについて結論を下すことを可能にします。
この記事で紹介する構造が厳密性の必要性によってもたらされたのは20世紀に入ってからです。
多項式を数列として見る
多項式を表現するにはさまざまな方法がありますが、最も古典的な方法は次のとおりで、2 つの多項式AとB の例で示されています。
この書き込みは、数値101101および951の位置 10 進表記と比較でき、次のようになります。
多項式の加算と乗算は数値の加算と乗算とほぼ同じ法則に従うため、 AとB を加算および乗算してテーブルを使用するのが実用的です。左の図に示すように、 12世紀のアラブの数学者アル サマウアルはこのようにして多項式を表現しました。表形式で、数値の加算と乗算の古典的な方法を使用すると、次の結果が得られます。
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加算と乗算の法則はほぼ同じですが、唯一の違いはキャリーにあり、これは多項式には存在しません。多項式をこのように見ると、凝縮された記述が使用されます。この形式では、多項式をシーケンスとして見ることができます。便宜上、順序を逆に記す方が簡単です。つまり、係数1 から始めて、次にXの係数など… この表記法を使用すると、次のようになります。
このシステムは、ここで提案される多項式の正式な構築の起源となります。