幾何学では、角度の一般的な概念は、いくつかの関連する概念に分類されます。
古い意味では、角度は平面図形、つまり 2 本の交差する線で区切られた平面の一部です。これが、多角形の角度について説明する方法です。ただし、現在では、そのような図に対して角度セクターという言葉が使用されています。この角度は、2 つの平面によって区切られた空間の一部 (二面角) を指定することもできます。このような角度の尺度を定義することは可能であり、この尺度も一般的には角度と呼ばれますが、誤って呼ばれます。
より抽象的な意味では、角度は等価性のクラス、つまりアイソメトリックによって識別可能なすべての角度図形を同化することによって得られるセットです。識別された数値はいずれも角度を表すと呼ばれます。これらすべての代表が同じ尺度を持っているので、抽象的な角度の尺度について話すことができます。
平面のユークリッド幾何学で方向角の概念を定義することは、ヒルベルト以前のベクトル空間またはリーマン多様体の枠組みに角度の概念を拡張することが可能です。
角度という言葉は、角を意味するラテン語のangulusに由来します。
平面や空間の図形としての角度
角度セクターと角度
扇形とは、直線の交差または結合によって区切られた 2 つの半平面の交差または結合によって得られる平面図形です。
角度セクターの角度は、角度セクターが占める平面の割合を測定する正の実数です。それを定量化するために使用される単位は、ラジアン、象限、およびその細分である度および等級です。角度は、α、β、θ、ρ などのギリシャ文字の小文字で表されることがよくあります。角度が多角形の頂点にあり、曖昧さがない場合は、帽子をかぶった頂上の名前を使用します。 、たとえばÂ 。
角度は、角度セクターの開口部、つまり、点の交点から遠ざかるときに線が互いに遠ざかる「速度」として解釈することもできます。これは、ある線の他の線に対する傾きの尺度です。
角度の値
この角度、この「表面の比率」を評価するには、交点を中心とする円盤を取得し、角度セクターによって遮られる円盤の部分の面積と総面積の比率を計算します。ディスク。これは、切られた円弧の長さを円の円周に関連付けることにもなることがわかります。 1 未満のこの値をターン数と呼びます。値 1/4 (4 分の 1 回転) は象限に対応します。
一般的に使用される単位は次数で、象限を 90 等分することで構成されます。したがって、完全な回転は 360 度に相当します。円弧の分は度の約数であり、1 度の 1/60 に相当します。同様に、アーク秒はアーク分の 1/60、つまり 1/3600 度に相当します。グレードを使用することはめったにありませんが、これは象限の 100 進数の細分に相当します。
ただし、角度の国際測定単位はラジアンであり、切られた円弧の長さと円の半径の比として定義されます。したがって、完全な回転は2πラジアンに相当します。
角度は、三角法を使用して、多角形、特に三角形の辺の長さから計算できます。
場合によっては、角度は接線で表されます。たとえば、傾斜はパーセントで表され、水平から 100 メートル移動するときに上る（または下る）メートル数を表します。 α が最大傾きの線と水平線の間の角度である場合、傾き (%) は 100×tan(α) に等しくなります。滑空(航空学) では、帆の繊細さは、(風のない状態で) 水平方向に 100 メートル移動したときに降下するメートル数です。また、傾きの接線の 100 倍でもあります。
「現場では」角度はゴニオメーターと呼ばれる装置で測定できます。通常、分度器と呼ばれる、度単位で目盛りが付けられた湾曲した定規が含まれています。
アングルの名前
整数の象限に対応する角度には特定の名前が付いています。
| コーナー | ターン数 | 象限の数 | ラジアン | 程度 | 学年 |
|---|---|---|---|---|---|
| フルターン | 1ラウンド | 4象限 | 2πラジアン | 360° | 400g |
| 平角 | 1/2回転 | 2象限 | πラジアン | 180° | 200g |
| 直角 | 1/4回転 | 1象限 | π/2ラジアン | 90° | 100g |
| 角度ゼロ | 0ターン | 0象限 | 0ラド | 0° | 0グラム |
直角は、平面を 4 つの等しい扇形に分割する 2 本の直線を考慮することによって得られます。このような線は「直交」または「垂直」と呼ばれます。
次の修飾子は、これらの注目すべき値の間の中間値を取る角度に使用されます。
- 凹角は平坦角より大きい角度である。
- 凸角は、平坦角よりも小さい角度である。
- 突角が直角より大きい場合、その突角は鈍角になります。
- 直角より小さい場合は鋭角になります。
2 つの角度の相対値を修飾するには、次の式を使用します。
- 2 つの角度の合計が 90° の場合、それらの角度は相補的です。
- 2 つの角度の合計が 180° になると、それらの角度は補われます。
図形上の角度の位置、つまりより正確には角度セクターの相対位置を記述するために他の表現を使用します。
- 2 つの角度セクターが同じ頂点を持ち、一方の辺が他方の辺の延長である場合、2 つの角セクターは頂点によって対向します。この場合、対応する角度は等しいです。
- 2 つの角度セクターが同じ頂点、共通の辺を持ち、それらの交点がこの共通の辺と等しい場合、それらの角度セクターは隣接しています。これらの分野の会合を考慮すると、角度が合計されます。
- 交互外角と交互内角は、割線で切られた平行線に関するものです。
注: 2 つの相補角または補角は必ずしも隣接しているわけではありません。たとえば、B にある直角三角形ABE では、角 Â と Ê は相補的です。
拡張すると、半線、線分、ベクトルの間の角度も、これらのオブジェクトを運ぶ線を交差するまで延長することによって定義します。半線またはベクトルによる定義により、追加の角度間の不確定性を取り除くことができます。つまり、方向の傾きを定義するためにどの角度セクターを使用するかを曖昧さなく定義できます。
幾何学的な角度
幾何学的な角度は、扇形で表現できる数学的オブジェクトです。それはいくつかの方法で解釈できます: 2 つの方向間の発散、物体の面 (角) の方向、北を基準とした方向 (コンパスによって与えられる角度)… 私たちは「角度の測定」と「角度の測定」をよく混同します。 「コーナー」。たとえば、「平らな」角度は、誤って 180 に「等しい」角度と呼ばれます。
注: この乱用は、この記事の残りの部分で広く意図的に適用されます。
一方、たとえば直角は、いくつかの異なる角度セクターで表すことができますが、それらはすべて「重ね合わせ可能」であるため、すべて同じ角度を表します。数学では「等価階級」について話します。
注: この問題は、「分数」と「有理数」を区別しようとするときにも発生します。
平面内の角度
平面の向きが決まっている場合、角度は「回転」する方向に応じて正または負になります。慣例により、平面はいわゆる「三角法」方向、つまり反時計回り (または「反時計回り」) の方向に向けられます。 2 つの半線またはベクトルを考慮する場合、その半線またはベクトルを引用する順序が角度の方向、つまりその符号を定義します。したがって ：
- $$ {\widehat{BAC} = – \widehat{CAB}} $$
- $$ {(\widehat{\vec{u},\vec{v}}) = – (\widehat{\vec{v},\vec{u}})} $$
角度は整数の回転数に対して定義されます。したがって、完全な平面は、正の方向に 1 回完全に回転し、正の方向に 2 回完全に回転し、負の方向に 1 回完全に回転することによって定義できます。ラジアンでは、角度は2π 以内に定義されると言います (“最も近い 2 円周率まで)。たとえば、角度 α が直接方向にまっすぐな場合、次のようになります。
- $$ {\alpha = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}} $$
それとも
- $$ {\alpha \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]} $$
この最後の表記は、「アルファは 2 を法とする 2 円周率で 円周率に合同である」となります。
特に、与えられた2 つの半線 (または 2 つのベクトル) について、α ≡ α – 2π (上の図を参照) であるため、平面の「小さい」部分を選択するか「大きい」部分を選択するかは問題ではないことに注意してください。
ベクトル角度
角度は次のように等価クラスから定義されます。
通常の (標準化された) ユークリッド平面では、ベクトルのノルムを保存する平面の変換であるアイソメトリを定義します。アイソメトリには、1 または -1 に等しい決定因子があります。
行列式 1 (「正」と呼ばれる) を持つアイソメトリックは、(ノルム 1 の) 単位ベクトルを別の単位ベクトルに変換します。単位ベクトルのペアの場合
- $$ {\vec{v} = f(\vec{u})} $$。
別の正のアイソメトリgとします。
- $$ {\vec{u’}=g(\vec{u})} $$そして 。
それを証明できます
- $$ {\vec{v’} = f(\vec{u’})} $$
そして、単位ベクトルのペアのセット
- $$ {\vec{v”} = f(\vec{u”})} $$
はf上の同値クラスであり、各アイソメトリfが同値クラスを決定します。
角度 θ をこの対の同値類と呼び、関連するアイソメトリは角度 θ の回転です。
確認、完成、説明するための定義
空間内の角度
交差する 2 つの線は必ず同一平面上にあるため、線間の角度は上記と同じ方法でその平面内で定義されます。平面の方向を設定するには、平面に垂直なベクトルを選択します。法線ベクトルが観察者の方向を向いている場合、平面は三角関数の方向に方向付けられます。ベースを定義した場合
法線ベクトルによる平面の向き
2 つの平面間の角度を定義するには、それらの法線ベクトルがなす角度を考慮します。
平面と直線の間の角度を定義するには、直線と平面上のその正射影との間の角度 α、または直線と平面の法線との間の補角を考慮します。線と平面の法線が直角になります (α = π/2 – β、ラジアン)。
空間内の任意の 2 つの直線の間の角度を定義するには、それらの方向ベクトル (コサインはこれらの単位ベクトルのスカラー積に等しい) によって作られる角度、または任意の平行線と 2 つの直線のうちの 1 つによって作られる平面角を考慮します。それと交差するもう一方へ。この角度は、上記と同じ方向の選択を法として定義されます。
また、立体角も定義します。空間内の点 (「観測点」と呼ばれることもあります) と表面(「観測面」) を取得します。立体角は、その点を頂点と見なす円錐によって区切られる空間の割合です。そして表面の輪郭の上に残ります。単位はステラジアン (略して sr) で、完全な空間は 4π sr です。
角度の使用
注意事項
- ここでは、地球は球形であると仮定しますが、これは完全に真実ではありません。地球の一般的な形状は 2 つの極でわずかに平らであり、その表面には凹凸があります (海溝、山)。