同じ名前のギリシャ文字π (常に小文字) で表される数値pi は、円の円周とその直径の間の一定の比率です。アルキメデスの定数とも呼ばれます。
おおよその値は
π は無理数です。つまり、2 つの整数の比ではありません[ 1 ] 。実際、この数字は超越的です[ 2 ] 。これは、π を根とする整数係数を持つ非ゼロ多項式が存在しないことを意味します。
π の超越性は、円を二乗する問題を解くことが不可能であることを証明します。定規とコンパスのみを使用して、表面が指定された円盤の表面と厳密に等しい正方形を構築することは不可能です。 [ 3 ]
歴史
ギリシャ文字「π」は、ギリシャ語π εριφ?ρεια (外周) とπ ερ?μετρος (外周、つまり円周) の最初の文字です。
数字π は、代数と解析の両方において、多くの数学者にとって非常に初期のインスピレーションの源でした。したがって、古代以来、学者、特にギリシャの学者は、幾何学の問題を研究するときにこの数の特性に注目してきました。
真実性が証明されている最も古い値は、1936 年に発見された楔形文字で書かれたバビロニアの板にあります。この板は紀元前 2000 年にバビロニア人が到着し、円の周長と内接した六角形の周長が 3 に等しいと比較されました。直径の倍。彼らは、最初に知られているπの値の 1 つ、つまりπ = 3 + 1/8 (つまり 3.125) を推定しました。
1855 年に発見されたリンド パピルスには、エジプトの筆記者アフメスによって紀元前 1650 年頃にコピーされた、さらに古い教育問題のマニュアルのテキストが含まれています。 π が(16 / 9) 2 (つまり 3.160…) で評価されることを意味する計算の痕跡が見つかります。
πを含む数式
興味深い数式を含む
ジオメトリ
円周率は、円や球を含む多くの幾何学式に登場します。
| 幾何学的形状 | 式 |
|---|---|
| 半径r 、直径dの円の円周 | $$ {C = 2 \pi r = \pi d \,\!} $$ |
| 半径rの円盤の面積 | $$ {A = \pi r^2 \,\!} $$ |
| 半軸aとbを持つ楕円の面積 | $$ {A = \pi a b \,\!} $$ |
| 半径rの球の体積 | $$ {V = \frac{4}{3} \pi r^3 \,\!} $$ |
| 半径rの球の表面積 | $$ {A = 4 \pi r^2 \,\!} $$ |
| 高さh 、半径rの円柱の体積 | $$ {V = \pi r^2 h \,\!} $$ |
| 高さh 、半径rの円柱の表面積 | $$ {A = 2 ( \pi r^2 ) + ( 2 \pi r ) h = 2 \pi r (r + h) \,\!} $$ |
| 高さh 、半径rの円錐の体積 | $$ {V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \,\!} $$ |
| 高さh 、半径rの円錐の表面積 | $$ {A = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r^2 = \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) \,\!} $$ |
球に外接する同じ高さの円柱の表面は同じです（円柱の底面は除きます）。
分析
- $$ {\pi = \lim_{n \to \infty} (n\sin(\pi/n)) = \lim_{n \to \infty} (n\tan(\pi/n))} $$。
- 2 つの項列s n = n .sin(π/ n ) およびt n = n .tan(π/ n ) ( n ≥ 3) は、円に内接する n 辺の正多角形の半周を表します。 s nの三角関数、 t nに内接する。これらは、反復ごとにインデックス (多角形の辺の数) が 2 倍になる抽出されたシーケンスによって利用され、基本的な算術演算と平方根を使用した式の極限まで渡すことによって π を取得します。したがって、アルキメデスが使用した方法からインスピレーションを得て ( πの計算の歴史を参照)、項s 2 mとt 2 m 、またはs 3.2 mとt 3.2 mから抽出された数列の帰納法によって定義を与えることができます。通常の三角恒等式を使用した例:
- $$ {\begin{array}{lll} t_{2n}=2{s_n\cdot t_n\over s_n+t_n} & t_3=3\sqrt 3& t_4=4\\ s_{2n}=\sqrt{s_n\cdot t_{2n}} & s_3={3\sqrt 3\over 2} & s_4={2\sqrt 2}\,. \end{array}} $$
- 三角恒等式を使用すると、2.sin( x /2) = √(2-2cos( x )) および 2.cos( x /2) = √(2+2cos( x )) ( x ∈ [0,π ]) , s 2 k+1とs 3.2 k (k≥1) は平方根の連続した入れ子で表現できます。 π については次の式が得られます。
- π は平方根の無限反復の形式で表すことができます。
- $$ {\pi = \lim_{k \to \infty} \left ( 2^{k} \cdot \sqrt{2 – \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}}} \right )} $$ここで、 k はネストされた平方根の数です。
- またはもう一度:
- $$ {\pi = \lim_{k \to \infty} \left ( 3\cdot2^{k-1} \cdot \sqrt{2 – \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}}}} \right )} $$。
- s 2 k+1の別の式は、これら 2 つの等式の最初の式 (√(2+√…) を掛ける) から簡単に演繹することができ、次の無限積を導き出します ( François Vièteの公式、1593)。
- $$ {\frac{\pi}2= \frac{2}{\sqrt2}\cdot \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt2}}\cdot \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}\cdot\cdots} $$
- $$ {\frac{1}{1} – \frac{1}{3} + \frac{1}{5} – \frac{1}{7} + \cdots + \frac{(-1)^k}{2k+1} + \cdots = \frac{\pi}{4}} $$(ライプニッツの公式)
- $$ {\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdot \cdots \cdot \frac{2k + 2}{2k+1} \cdot \frac{2k+2}{2k+3} \cdot \cdots = \frac{\pi}{2}} $$(ウォリス製品)
- $$ {\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots + \frac{1}{k^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}} $$(オイラー)
- $$ {\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots + \frac{1}{k^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}} $$
- そしてより一般的には、オイラーは ζ(2n) が次の有理数倍であることを示しました。 $$ {\pi^{2n}\,} $$正の整数 n の場合
- $$ {\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}} $$(オイラーガンマ関数)
- $$ {\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}} $$
- $$ {n! = \Gamma(n + 1) \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n} $$(スターリング階乗式)
- $$ {e^{i \pi} + 1 = 0\;} $$(オイラー恒等式、リチャード・ファインマン著「世界で最も注目すべき公式」とも呼ばれる)
- π は、注目すべき一般化された連分数の形式で書くことができます。
- $$ {\frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{\cdots}{\cdots + \frac{k^2}{(2k+1) + \cdots}}}}}}}} $$
- $$ {= {1 + {1^{2}\over 2 + {3^{2}\over 2 + {5^{2}\over 2 + {7^{2}\over 2 + {9^{2}\over 2 + {11^{2}\over 2 + … }}}}}}}} $$(ウィリアム・ブラウンカー)
- $$ {\frac{\pi}{2} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1/2 + \frac{1}{1/3+\,\cdots+ \frac{1}{1/n+\,\cdots}}}}} $$
- ( (リンク)には他の表現もあります)
- $$ {\sum_{k=0}^{n} \varphi (k) \sim 3 n^2 / \pi^2} $$または$$ {\varphi\,} $$はオイラー指標関数です (Farey 数列も参照)。
- $$ {\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\ dx = {\pi \over 4}\,} $$（単位四分円の面積）
数論
- 0 から N までの整数のペアのうち、自然素数の整数のペアの出現頻度は、 $$ {\frac{6}{\pi^2}\,} $$N が無限大になる傾向があるとき。
- 順序を考慮して、0 から N までの任意の 2 つの正の整数を 2 つの完全平方の和として記述する方法の平均数は、次のようになります。 $$ {\frac{\pi}{4}\,} $$N が無限大になる傾向があるとき。
力学システム /エルゴード理論
2 つの自然数が互いに素数である確率は、
- $$ {\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{x_i} = \frac{2}{\pi}} $$
- [0, 1] のほぼどこでも、 x i はr = 4 のロジスティック平面の反復です。
物理的な
- $$ {\Delta x \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}} $$(ハイゼンベルグの不確定性原理)
- $$ {R_{\mu\nu} – {g_{\mu\nu} R \over 2} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu\nu}} $$(一般相対性理論のアインシュタイン場の方程式)
円周率の値を計算する
非合理的な性質のため、数値 π には有限または周期的な小数展開がありません。その結果、おおよその小数表記しか計算できません。たとえば、小数点以下 100 桁に近似した値は[ 4 ]です。
- …
一般的な用途では、3.14 または 22/7 で十分なことがよくありますが、エンジニアは予備計算の精度を高めるために 3.1416 (有効数字 5 桁) または 3.14159 (有効数字 6 桁) を使用することがよくあります (ただし、最終計算ではコンピューターを使用する必要があります)。の最大精度 (有効数字 8 ～ 19 桁)。 355/113 は有効数字 7 桁で覚えやすい分数です。
円周率の計算の歴史
紀元前20世紀。紀元前、バビロニア人は 25 / 8 の近似値を使用し、エジプト人は ((16 / 9) 2 = 3.16049…) というかなり良い近似値を使用しました。紀元前3世紀には、より適切な近似の証拠しかありません。紀元前250年頃円の測定に関するアルキメデスの論文のある紀元前。反復ごとに辺の数が 2 倍になる 2 つの多角形シーケンスの間に円を配置するという方法のおかげで、アルキメデスは次の結果を取得しました: 223 / 71 < π < 22 / 7 (3.1408… < π < 3.1428. ..) 、または、非常に時代錯誤的に言えば、2.10 -3の精度で小数点以下 2 桁です。
1429 年にペルシャで、アル＝カシは円周率の小数点以下 14 桁を計算しましたが、1596 年にはまだ幾何学的手法を使用していましたが、オランダ人のルドルフ・ファン・オイレンは小数点以下 20 桁を計算し、1609 年には 34 桁を計算しました。彼は自分の偉業をとても誇りに思っていました。彼の人生の一部）、彼はその番号を自分の墓に刻むように頼んだ。
その後、 17世紀の解析の発展、特に無限の和と積のおかげで、円周率の小数の計算が加速されました。たとえば、アイザック ニュートンは1665 年に小数点以下 16 桁を計算し、ジョン マシンは 1706 年に小数点以下 100 桁を計算しました。1760 年頃、オイラーは 1時間で小数点以下 20 桁を計算しました (ヴァン クーレンが 10 年以上の計算で得た小数点以下 30 桁と比較してください)。
1789 年、スロベニアの数学者Jurij Vega は小数点以下の最初の 140 桁 π を計算し、そのうち 137 桁が正解でした。この記録は50年以上も残ることになる。彼はジョン・マチンが 1706 年に発見した公式を改良し、彼の方法は今日でも言及されています。
数学者ウィリアム・シャンクスは、人生の 20 年を費やして円周率の小数点以下の桁を 707 桁計算しましたが、正しいのは最初の 528 桁だけでした。 1937 年のパリ万国博覧会の際、残念ながらこれらはデクーベルト宮殿の π ルームに彫刻されました。このエラーは 1945 年まで検出されませんでした。
円周率の小数点以下の桁数の計算は、コンピューターの出現により20世紀に始まりました。2,037 はアメリカの計算機 ENIAC によって 1949 年に計算され、小数点以下の 10,000 桁は 1958 年に、100,000 は 1961 年に、1,000,000 は 1973 年に、10,000,000 は 1982 年に得られました。 1989 年には 100,000,000 になり、同年には 10 億になりました。 2002 年には、小数点以下 1,241,100,000,000 桁が知られていました。
円周率の計算方法
マシンの公式
John Machinen が使用した式は、今日でも使用されている式と同様で、素早い計算を可能にします。
- $$ {\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} – \arctan\frac{1}{239}} $$
彼は、関数 arctan( x ) のテイラー級数展開でそれを取得しました。この式は、複素平面の極座標で簡単に検証できます。
- $$ {(5+i)^4 \times (-239 + i) = -114244 \times (1+i)} $$。
この種の公式はマチン公式と呼ばれます。
非常に正確な π の近似は、通常、ガウス・ルジャンドル アルゴリズムとボーワイン アルゴリズムを使用して計算されます。 1976 年に発明されたサラミン・ブレント アルゴリズムも、非常に多くの小数点以下の桁数に使用されています。
Project Gutenbergでは、π と 1/π の小数点以下 1,000,000 桁を見ることができます (外部リンクを参照)。
現在の記録は、小数点以下 1,241,100,000,000 桁で、2002 年 11 月に 1 テラバイトのメインメモリを備えた 64 ノードの日立並列スーパーコンピュータで 600 時間の計算を行った結果、 1 秒あたり 2 兆回の浮動小数点演算を実行できます。以前の記録 (小数点以下 2,060 億桁)。これには次の Machine 式が使用されました。
- $$ {\frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} – 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}} $$（高野和也、1982年）
- $$ {\frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} – 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}} $$(FCW シュテルマー、1896)
これらの近似値は非常に大規模であるため、新しいスーパーコンピューターをテストする以外には実用的ではありません。
インターネットネットワークに接続されたコンピュータの並列使用など、他の方法とアルゴリズムが現在研究され、実装されています。
円周率の小数部の単独計算
1995 年、デビッド ベイリーは、ピーター ボーワインおよびサイモン プルーフと共同で、π の新しい公式、級数 (BBP 公式と呼ばれることが多い) を発見しました。
この式を使用すると、以前の小数点以下の桁を計算することなく、π の 2 進数または 16 進数のn番目の桁を簡単に計算できます。 Bailey のサイトには、多くのプログラミング言語での派生と実装が含まれています。 BBP 式から導出された式のおかげで、2 進数の π の4,000,000,000,000,000桁目は 2001 年に得られました。
1 年後、Simon Plouffe は π の小数点第 n桁を計算できるアルゴリズムを開発しましたが、今回は 10 進数で計算しました。これについては、Simon Plouffe のページ ( http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/Simon/articlepi.html ) から入手できる短い記事で説明されています。残念ながら、現在 10 進数の π の正確な孤立した桁を決定できるこのアルゴリズムは、前の 10 進数のすべての桁を計算するアルゴリズムよりも遅いです。
その他の式
π の計算には、次のような他の公式も使用されます。
- $$ {\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}} $$(ラマヌジャンによる公式)
- $$ {\frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}}} $$(David と Gregory Chudnovsky による公式)
円周率を押し続ける
人気のある (しかし非実用的な) 記憶術として次のような詩があります。
- 私は賢い人たちに役立つ数字を教えるのが大好きです。
- 不滅のアルキメデス、アーティスト、エンジニア、
- あなたの判断でその価値を評価できるのは誰ですか?
- 私にとって、あなたの問題には同様の利点がありました。
- 以前は、謎に満ちた問題がブロックされていました
- 素晴らしいプロセス、壮大な仕事のすべて
- ピタゴラスが古代ギリシャ人に発見したもの。
- おお、求積法！哲学者の古代の苦しみ
- 溶けない丸み、長すぎます
- ピタゴラスとその模倣者たちに挑戦しました。
- 円形の計画空間をどのように統合するか?
- 等価となる三角形を形成しますか?
- 新しい発明: アルキメデスが書き留める
- 六角形の内側。その地域を高く評価するでしょう
- 半径関数。あまり固着しすぎないようにしましょう。
- 前の各要素を分割します。
- 常に計算されたオーブが近づいてきます。
- 制限を定義します。最後に、アーク、リミッター
- この不穏なサークルから、あまりにも反逆的な敵
- 先生、彼の問題を熱心に教えてください
各単語の文字数は、小数点以下 1 桁に対応します。ただし、数字「0」のコーディングは10 文字の単語に対応します。
2005年、59歳の日本人男性、原口明は13時間で円周率の小数点以下83,431桁を暗記することに成功した。彼は 1 年後 (2006 年)、小数点以下 100,000 桁を 16 時間暗記し、公の場で暗唱するという記録を繰り返しました。この偉業はギネスブックに認定されました。
未解決の質問
重要な未解決の問題は、π が正規数であるかどうか、つまり、無限で完全にランダムなシーケンスに期待されるように、n 桁の連続が別の n 桁の連続と同じ確率で π の 10 進数値に現れるかどうかです。数字の。これは、基数 10 だけでなく、どの基数にも当てはまります。ベイリーとクランドールは 2000 年に、上記のベイリー・ボーワイン・プルーフの公式と類似の公式の存在により、π の基数 2 が正規になることを示しました。
同じ精神で、π が宇宙数であるかどうか、つまり、その出現確率に関係なく、有限長の数字の連続を見つけることができる数であるかどうかはわかりません[ 5 ] 。
出現回数が無限にある 10 進数展開のどの桁が何であるかさえわかりません。必要] 。
πの性質について
非ユークリッド幾何学では、三角形の角度の合計が π より大きいか小さい場合があり、円の直径に対する円周の比率も π と異なる場合があります。これは π の値を変更しませんが、この数値が表示される式に影響します。特に、宇宙の形状は π の値に影響を与えません[ref.必要です] : これは数学的な定数であり、物理的な値ではありません。