導入
数学におけるディオファントス方程式は、係数が整数であり、望ましい解も整数である方程式です。この用語は、有理係数を含む方程式にも使用されます。この種の質問は、算術と呼ばれる数学の分野に分類されます。
提起された問題の表現が単純な場合もありますが、解決方法は複雑になる可能性があります。 19世紀の数学者、カール・フリードリヒ・ガウスは、この種の問題について次のように述べています。 »
特定のディオファントス方程式を解くには、数世紀にわたる多くの数学者の共同の努力が必要でした。ガウスは、「数論における根号の符号を決定するのに不相応な労力がかかった」と不満を述べた。この質問が何年も彼を引き留めたほど、他の多くのことが彼を引き留めることはありませんでした。 »フェルマーの最終定理は典型的な例であり、ピエール・ド・フェルマーによって推測され、多くの数学者による 357 年間の努力の末、1994 年にアンドリュー・ワイルズによって解決されました。
この種の問題を解決する際の関心が、 フェルマーの小定理を広範囲に利用する暗号学のような反例があったとしても、数学、物理学、または産業応用のための重要な定理を確立することにあることはほとんどありません。彼らの分析は、算術の枠組みを超えて使用できる強力な数学ツールの開発につながります。この点では二次形式が代表的です。ディオファントス方程式の解決によって得られるテクニックの豊かさと形式的な美しさにより、デイヴィッド ヒルベルトにとって算術は数学の女王の分野となっています。
このタイプの方程式は、ギリシャの数学者、アレクサンドリアのディオファントスにちなんで名付けられました。ディオファントスは、おそらく3世紀頃の不確かな時代に生きた数学者です。彼は、この性質の問題を研究した論文『算術』を執筆しました。
初級算数
ディオファントスの質問がすぐに難しくなったとしても、最小限の理論的ツールと短く簡単なデモンストレーションで解決できる特定の例外があります。
ベズーの正体
- 詳細記事: ディオファントス方程式ax+by = c – バシェ・ベズーの定理
いくつかの初歩的な手法により、ディオファントス方程式の最初の族を解くことが可能になります。例は、2 つの不定数を含む 1次線形方程式によって示されます。
この方程式はベズー恒等式と呼ばれ、この結果を多項式に一般化した数学者の名前にちなんで命名されました。その解決には、ユークリッド除算とEuclidのアルゴリズムのみが使用されます。このアイデンティティには二重のステータスがあります。これはディオファントス方程式に相当し、初等算術の構築を支える柱の 1 つを表します。ユークリッドの補題は、この恒等式とユークリッドの補題を使用した算術の基本定理を使用して証明されます。基本定理により、最大公約数演算子と最小公倍数演算子の特性、およびそれらの間の素数の特性を決定することができます。
ウィルソンの定理
これらのツールを使用してディオファントス方程式を解く例としては、ウィルソンの定理があります。それは次の方程式の分解能、符号に対応します。階乗関数を表す：
この式を満たすもの以外のxの値は素数のみです。
ピタゴラスの三重項
ユークリッドの補題により、ピタゴラスのトリプル、つまり、方程式を検証する整数のトリプル ( x 、 y 、 z ) の検索を克服することができます。
これらと同じ手法を使用すると、 nが 4 に等しいフェルマーの最終定理に対応する次の方程式には、 xyz = 0 を検証する解以外の解がないことがわかります。このディオファントス方程式は次の式に対応します。
フェルマーの小定理
ピエール・ド・フェルマーは、数学的研究の大部分をディオファントスの疑問の解決に捧げています。彼は、次のように表現したフェルマーの小さな定理を発見しました。 「すべての素数は、あらゆる数列の累乗 -1 の 1 つを確実に測定し、その累乗の指数は、与えられた素数-1 の約数です… » 。ディオファントスの言葉で言えば、次の方程式に対する部分的な答えが得られます。ここで、 a は整数、 p は素数を表します。
フェルマーの小定理では、 p – 1 がxの可能な値であると述べています。この結果は多くの用途に応用できます。これにより、素数の中からy を求める次の方程式に対応する、メルセンヌのような大きな素数を構築することが可能になります。
xも素数であることを示すのは比較的簡単です。このディオファントスの質問により、2008 年に知られている最大の素数を見つけることが可能になります。フェルマーは類似の方程式に興味を持っており、フェルマーの名前が付けられた他の素数を構築することが可能になりました。ここではまだ素数を探しています。
この際、フェルマーは彼が知っている唯一の誤った推測を犯します。彼はすべてのフェルマー数が素数であると想像しています。重要なことは、私はすでに素晴らしいものを見つけたので、それをあなたと共有したいと思います。レオンハルト・オイラーがフェルマーの 5 番目の数の約数を提示するまでに、ほぼ1 世紀が経過しました。彼が証明の構造を明らかにしたのは 15 年後のことでした。これはフェルマーの業績に正確に対応しており、1640 年に 2 つのメルセンヌ数の非素数性を証明することができました。
フェルマーの小定理の関心は、整数の素数の研究に限定されません。また、特定の方程式を解くこともできます。以下は、 p が素数を指定する例です。
これは、次の方程式を解くステップに対応します。
この方程式を素数pについて解くと、任意の正の整数pについて解くことが比較的簡単になります。この方程式の解決は、フェルマーの 2 平方定理と呼ばれる結果に基づいており、その最初に知られている証明はオイラーの研究です。この数学者は、次の方程式に対してフェルマーと同じ性質の応答を与えることによって、この小さな定理を一般化します。ここで、 aとb は、互いに素な 2 つの整数を示します。
この結果はオイラーの定理として知られています。
その他のテクニック
ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュは、特定の場合にすでに扱われているディオファントス方程式を一般化しようとしています。 n が二乗因数のない整数、 p が素数の場合、2 平方定理の方程式は次のようになります。
このために、彼は 2 つの変数、つまり結合 ( x , y ) に関連する関数 φ をもつ二次形式を研究します。
どの線形形式が他のどの線形形式と等価であるかを知ろうとします。同等とは、現代の用語では、 Z 2 ( Z は整数のセットを示す) の基数を変更すると、ある形式から別の形式に移動できることを意味します。このアプローチにより、 nが 1、2、3、または 5 に等しい場合でも方程式(1)を解くことができます。一般的な場合は範囲外のままです。
この方程式のもう 1 つの一般化は、この方法を使用して解かれます。これは、任意の正の整数に対して少なくとも 1 つの解を見つけるのに必要な最小の平方数を見つけることから構成されます。答えは 4 で、これは次の方程式に対応します。
ラグランジュの 4 平方定理は、 nの任意の値に対して、この方程式には解があると述べています。エドワード・ウェアリングは、この問題をウェアリングの問題という名前で一般化し、次のように表現します。すべての正の整数を取得するには、 k乗和に何項必要ですか?
式 (1) は、与えられたnの値に対して、パラメータnの同じ値と任意の素数pについて次の方程式を解く必要があります。
nの各値について、方程式(2)の解を与える素数のリストを見つけることは、多くの場合比較的簡単です。一般解の表現はオイラーによって推測されましたが、その実証は18世紀の算術学者によって回避されました。
ラグランジュは、150 年前にフェルマーと古代のディオファントスによってすでに提起されていた別の質問に興味を持っています。これは、いわゆるペル・フェルマー方程式に対応します。 nが二乗係数のない整数の場合は、次のように記述されます。
この問題は、 m が1 に等しい場合にインドの数学者によって研究される主題です。いわゆるチャクラヴァラ法を使用すると、非常に効率的に解を見つけることができます。 Bhāskara II は、 nが 61 に等しい場合にこの方法を使用し、解x = 1,766,319,049 およびy = 226,153,980 を見つけました。フェルマーはこの方法を再発見し、当時の厳密基準に従ってそれを実証しました。ラグランジュは連分数に基づく別の方法を発見しました。また、 nのすべての値に対して無限の解を見つけることも可能になります。 m = +/-1 の場合にすべての解が実際に到達するという事実が最終的に実証されますが、それでも一般的な場合には到達できません。 。