導入
線形代数では、ベクトル空間でベクトルを乗算する実数をスカラーと呼びます。このスカラーによる乗算は、ベクトルに数値を乗算してベクトルを生成することを可能にし、ベクトル空間の外部法則に対応します。
より一般的には、
一方、ドット積(スカラーによる乗算と混同しないでください) はベクトル空間上で定義でき、2 つのベクトルを乗算してスカラーを得ることができます。スカラー積を備えた有限次元のベクトル空間は、ユークリッド ベクトル空間と呼ばれます。
クォータニオンの実数成分は、スカラー部分とも呼ばれます。
スカラー行列という用語は、 λ I の形式の行列を指定するために使用されます。 ここで、 λはスカラー、 I は単位行列です。
語源
スカラーという言葉は、英語のスカラーという言葉に由来しており、このスカラー自体は、数値のランクに使用されるスケールという言葉に由来しています。後者は、音階を表すラテン語のscalaに由来します。
オックスフォード英語辞典によると、スカラーという言葉が初めて科学出版物に登場したのは 1846 年のアイルランドの数学者WR ハミルトン卿の論文です。この単語は、四元数の実部を指すために使用されます。この参照は、数学用語のいくつかの初期の既知の使用法というサイトによって確認されています。ただし、後者は、この用語スカラーが 1844 年に発表された論文「四元数について」でハミルトンによってすでに使用されていたが、デヴィッド ウィルキンスによれば、発表されたのは 1847 年か、おそらく 1845 年になっていることを明記しています。
定義と特性
ベクトル空間のスカラー
ベクトル空間は、スカラーのセットに関連付けられたベクトルのセットとして定義され、いくつかの法則が提供されます。そのうちの 1 つは、スカラーλとベクトルv別のベクトルλ に関連するスカラーによる乗算の法則です。 v 。たとえば、可換体Kの要素のn組のベクトル空間K nでは、ベクトルのスカラーλによる乗算は
スカラーは、有理数、代数、実数、複素数、および有限体を含む任意の可換体から取得できます。
ベクトルの成分としてのスカラー
可換スカラー体K上の任意の有限次元ベクトル空間は、 Kのスカラーのn組で形成されるベクトル空間K nと同型です。たとえば、次元nの実ベクトル空間は実ベクトル空間と同型です。
内積
プレヒルベルト空間は、 2 つのベクトルを乗算して数値を与える法則であるスカラー積を備えたベクトル空間Eです。結果または積は一般に、 Eのスカラー本体の要素として定義されます。ベクトルとそれ自体の内積は正でなければならないため、内積を持つ空間は、符号の概念に意味を与える体上でのみ定義できます。これには、たとえば有限体は含まれません。
スカラー積の存在により、2 つのベクトル間の角度について明確に定義された概念、特に 2 つのベクトルの直交性を表現する方法が提供されるため、ユークリッド空間の幾何学的直観をベクトル空間に導入することが可能になります。ドット積を持つほとんどの空間は、自然に正規化されたベクトル空間とみなすこともできます。
正規化されたベクトル空間のスカラー
ベクトル空間Eには、 Eの各ベクトルvにスカラー | を関連付けるノルムを与えることができます。 | v | | 。ノルムの定義により、ベクトルvにスカラーλを乗算することにより、そのノルムに| を乗算します。 λ | 。 |の場合| v | |はvの長さとして解釈され、その後、 vの長さに比例|の比を乗算するこの操作が行われます。 λ | 。ノルムのあるベクトル空間は、正規化ベクトル空間と呼ばれます。
ノルムは通常、 Eのスカラー本体で評価され、後者は符号の概念をサポートする本体に制限されます。さらに、 E の次元が 2 より大きい場合、 K は四則演算だけでなく平方根に対しても閉じられなければなりません。したがって、有理数の集合
モジュール内のスカラー
スカラーの集合が可換体であることを要求する条件が弱まり、その集合がリングを形成するだけでなくてもよい場合（たとえば、スカラーの除算を「定義する必要がない場合」）、このようにして得られるより一般的な代数構造が得られます。モジュールと呼ばれます。この場合、「スカラー」は複雑なオブジェクトになる可能性があります。たとえば、 Aがリングの場合、積空間A nのベクトルは行列で構成されるモジュールを形成できます。