導入
数学では、インデックスnの連続分数、つまりnステップに制限された分数の削減は、初期値のディオファントス近似です。より正確には、偶数ランクの一連の削減はデフォルトで実数に近似し、奇数ランクの削減シーケンスは超過によって実数に近似します。逆に、 a 0が整数で、 nがゼロより大きい場合はa n が厳密に正の整数であるようなシーケンス ( a n ) を考慮すると、 a n を係数として認める連分数の縮小のシーケンスは a に収束します。有限極限x (数列が無限である場合にのみ無理数実数) の連分数としての展開 ( xが有理数ではないこの場合に固有) は、係数a nの連分数です。
換算分数h n / k nは、ある意味で実数の最良の有理近似を提供します。インデックスnの換算分数は、 xからの距離が 1 / k n 2より小さい近似であり、分数の場合、 p / q は、 xから 1 / 2 未満の距離にある近似値です。q 2の場合、 p / q はxの縮小になります。この結果は最良近似定理と呼ばれます。
これらの結果には影響がないわけではありません。連分数は、平方根や π などの無理数を近似するために使用されます。この特性により、ペル フェルマーの方程式などの特定のディオファントス方程式を解くことが可能になります。また、自然対数の底であるeの非合理性の最初の証明の起源として、数値が有理であるための必要十分条件も提供します。これにより、さらに先に進むことができ、連分数を使用して得られるディオファントス近似の特性により、超越であることが証明された最初の数値を構築し、その後eと π が超越であることを示すことが可能になります。
前文
一般的な
最も単純な例は連続分数の記事にあり、有理数に関するものです。有理数xは次のように表されます。
分数棒または括弧を使用した両方の表記は、同じことを意味します。 pがnより小さい整数の場合、インデックスpの係数と呼ばれる項a p は、おそらく任意の整数である0を除く、厳密に正の整数を示します。項a pで終わる分数はインデックスpの縮小されたもので、 1/ x p+1がxの正確な値を取得するために式でa pに追加する補数である場合、 x p+1が呼び出されます。インデックスp + 1 の完全な商。結果は次の等価になります。
この概念は有理数に限定されるものではありません。 xが無理数の場合、係数の列は無限となり、削減された係数の列が交互にxに収束します。負またはゼロの可能性がある0を除く、厳密に正の整数a nのシーケンスについては、係数a n を使用して構築されたリダクションのシーケンスは、連分数が係数aで構成される実数rに収束します。 n 。この性質の簡単な例は、「二次数の連分数」の記事で提案されています。二次数は、有理係数をもつ二次方程式の解です。数値xの連分数は、 xが 2 次である場合に限り、特定の階数から周期的になります。
いくつかの結果は非常に役立ちます。詳細な記事で実証されています。 h n / k n が次数nの縮小を指定する場合、次の漸化式が成り立ちます。
これは、reduced の分子と分母が、無限大に向かう 2 つのシーケンスを形成していることを示しています。まだ次のような結果が得られています。
例、自然対数の底
レオンハルト・オイラーは、自然対数の底である数値eの連分数として式を求めました。これを行うために、彼は連分数の形式で指数関数の式を確立することから始めます。
この性質の式は、パデ近似と呼ばれます。前の式では、 e を連分数の形式で表現できます。
ここで使用されるバーはよく使用される表記です。これは、バーで囲まれた一連の整数が無限に繰り返されることを意味します。そこで見られる最初の関心は、 eの近似値を取得するという事実です。 2 の換算次数は 2.75 に等しく、次数 10 の次数は有効数字 7 桁になります。ただし、シリーズ全体を使用するアプローチでは、より少ない労力で同様の結果が得られます。オイラーは、 eの連分数表現が無限であることに注目します。これは必要な条件であり、彼の実証の目的であるeが有理数ではないことを示すのに十分です。それにもかかわらず、この結果のより簡単な実証を見つけることができます。例は記事 e (番号) で提案されています。この結果により、 eは連分数での展開が周期的ではないため、有理係数をもつ 2 次方程式の解ではないことが証明され、もう少し進めることができます。この種のアプローチでは、さらに先に進むことはできません。たとえば、 eの超越性を示すには、新しいアイデアが必要です。
これらの制限にもかかわらず、 eに収束する有理数列を提供する連分数には、極限の算術的性質に関する情報が豊富に含まれています。記事の残りの部分では、たとえば、 tが有理数である場合、 e t は有理数ではないことを示します。このアプローチは、証明の原点において、π の無理性を確立することも可能にします。
- アプローチ：
ここで使用されるアプローチは、連分数として係数 2、1、2、1、1、4、1、… を持つ数値の値を調べることから構成されます。連分数に関する記事は、換算された分数列 ( h n / k n ) が収束すること、その極限xが連分数での展開に使用される係数の値を許容すること、および連分数を正確に持つ実数が 1 つだけ存在することを示しています。使用される係数のシーケンス。
換算された分数のシーケンスの極限を見つけるには、抽出されたシーケンスの極限を見つけるだけで十分です。連分数の準周期的な側面により、シーケンス ( h 3p / k 3p ) を考慮することができます。
- マトリックス：
任意の連分数において、 h nとk n は線形漸化関係を満たし、フィボナッチ数列の関係を一般化します。この関係は 2×2 行列の形式で表されます。
ここで研究した連分数の準周期性は、次の定義を正当化します。
シーケンスM p (1) に対して次の最初の値を見つけます。
単純な漸化式は、行列M p (1) の最初の行が係数 ( h 3p , k 3p ) に対応し、2 番目の行が ( h 3p-1 , k 3p-1 ) に対応することを示します。したがって、この実証は、行列の最初の行の項によって形成される分数がその限界として対数の底を持つことを示すことに限定されます。
- パデ近似
指数関数には強力な分析特性があります。これらの特性は実証を実行するために不可欠であり、このアプローチはパデ近似の概念の基礎です。 1 つの方法は、 M p (t) 行列を前の定義の一般化として考慮することです。これらは、実数の係数を持つ 2×2 行列の空間内の一連の実数の関数を表します。行列の各係数は多項式です。正確な定義は次のとおりです。
tが 1 に等しい場合、前の行列式が見つかります。この意味では、これらは確かに一般化です。行列N p ( t ) の定義により、帰納法により次の式が得られます。
実際、 f p (t) とg p (t) が行列M p (t) の最初の行の係数を指定する場合、2 番目の行の係数はg p (-t) とf p ( -t)。シーケンス ( f p (t)) および ( g p (t)) の最初の式については、次のようになります。
したがって、分数f p (t) / g p (t) が指数関数に収束することを証明できれば十分です。この証明は、パデによる論文「近似」に記載されています。
歴史の断片
連分数を使用して数値を近似するという考えは、その概念の起源である5世紀のインドにまで遡ります。ベズーのアイデンティティの解決により、これがそのような概念の使用を推進する最初の動機になります。 Aryabhata は両方の目的でこれを使用しますが、特に平方根の抽出に使用します。
連分数の近似特性は、ラファエル ボンベリによって 13 の根で偶然発見され、その後ピエトロ アントニオ カタルディによってすべての平方根に一般化されました。 William Brouncker は、この方法を使用して、小数点以下 10 桁まで正確な π の近似値を取得します。レオンハルト・オイラーは、この方法の理論的側面を開発しました。これは、任意の実数が単純な連分数への一意の展開を許容すること、およびこの連分数が無限長である場合に限り、それが無理数であることを示しています。彼は、自然対数の底eを決定する、現在ではパデの近似法として知られている方法を発明しました。これが彼の非合理性の最初の実証となりました。ヨハン・ハインリヒ・ランベルトはさらに探究を進め、πも有理的ではないことを示しました。
数値の算術的性質を研究するためのディオファントス近似としての連分数の使用が確立されています。 19世紀には、超越数についての理解が深まりました。 Joseph Liouville は、最初に実証された超越数を示すために 1 を使用しました。この記事で説明した知識がそこで終わっても、物語は続きます。多くの進歩の中で、1873 年にeの超越性を確立したチャールズ エルミットを挙げることができます。次に、類似の方法を使用して、フェルディナンド フォン リンデマンが π の超越性を示しました。