導入
数学では、ブラウワーの不動点定理は代数トポロジーの結果です。これは、不動点定理の大きなグループの一部であり、連続関数f が特定の特性を満たす場合、 f ( x 0 ) = x 0となる点x 0が存在すると述べています。ブラウワーの定理の最も単純な形式では、関数fが閉じた有界区間Iで定義され、 I内の値が使用されると仮定します。より一般的な形式では、関数はユークリッド空間のコンパクトな凸Kで定義され、 Kの値が使用されます。
何百もの不動点定理の中で、ブラウワーの不動点定理が特に有名であるとすれば、それは部分的にはそれが数学の多くの分野で使用されているためです。元の分岐では、この結果は、ジョルダンの定理、毛むくじゃらのボールまたはボルスク-ウラムの定理など、ユークリッド空間のトポロジーを特徴付ける重要な定理の 1 つです。したがって、これはトポロジーの基本定理の 1 つです。この定理は、微分方程式で優れた結果を確立するためにも使用されます。これは初歩的な 微分幾何学のコースにあります。これは、ゲーム理論など、さらに予期せぬ分野にも登場します。ジョン ナッシュは、混合戦略を使用したn人のゲームに均衡が存在することを示すためにこれを使用しています。歴史的には、この定理は、ポアンカレやピカールなどのフランスの数学者による微分方程式の研究に続いて研究されました。ポアンカレ-ベンディクソンの定理のような結果を証明するには、トポロジー ツールを使用する必要があります。 19世紀末からのこれらの研究は、定理のいくつかの連続したバージョンにつながりました。 1912年、ルイツェン・エグベルトゥス・ヤン・ブラウワーは一般的な実証を提案し、1910年にアダマールによってすでに証明された結果を再び確立した。
ステートメント
定理には、使用状況に応じていくつかの形式があります。最も単純なものは次の形式で与えられる場合があります。
平面内—閉じた円板の連続的な適用f は、それ自体で少なくとも 1 つの固定点を許容します。
任意の有限次元に一般化することが可能です。
ユークリッド空間内—ユークリッド空間からそれ自体への閉じた球の連続マップには、固定点が認められます。
さらにもう少し一般的なものにすることもできます。
コンパクト凸— Kの値を持つユークリッド空間のコンパクト凸Kの連続写像fは、固定点を許容します。
さらに一般的な形式もありますが、通常は別の名前が付いています。
シャウダーの定理—バナッハ空間からKへのコンパクトな凸Kの連続写像には、固定点 が認められます。
歴史の断片
先史時代
ブラウワーの不動点定理の前史を理解するには、微分方程式を通過する必要があります。 19世紀末、太陽系の安定性という古い問題が再び数学界の注目を集めました。それを解決するには、新しい方法の開発が必要です。三体問題を研究するアンリ・ポアンカレ氏が指摘するように、正確な解決策の探求は無駄です。一様積分が存在せず、ボーリン級数が発散する力学問題。この数学者は、近似解の探索があまり効果的ではないとも指摘しています。 「正確な近似値を得ようとすればするほど、結果はますます発散し、不正確さが増すことになります」 。
彼はコーヒーカップの表面の動きに似た質問を研究しています。一般に、定電流によって駆動される表面の軌道について何が言えるでしょうか?ポアンカレは、その答えが、現在私たちが軌道を含む領域のトポロジー的性質と呼んでいるものにあることを発見しました。このゾーンがコンパクトである場合、つまり閉じていて制限されている場合、軌道は停止するか、無限に進むループにますます近づきます。ポアンカレはさらに、コーヒー一杯の場合のように、その領域が円盤と同じ性質である場合、必ず固定点が存在する、としています。この固定点は、初期表面の各点で、期間tの終わりにおけるその位置を関連付けるすべての関数によって不変です。この領域が円形のバンドに対応する場合、または閉じられていない場合、これは必ずしも当てはまりません。
微分方程式をより深く理解するために、数学の新しい分野が登場しています。ポアンカレはそれを「解析状況」と呼び、百科事典はそれを「引き裂かずに任意の連続的な方法で変形したときの図形の不変特性に関するもの」と定義しています（たとえば、球の変形の場合、相関特性ポアンカレは 1886 年に、ブラウワーの不動点定理と同等の結果を確立しましたが、この記事のテーマとは関係ありません。その後、彼は分析をよりよく理解するための基本ツールの 1 つを開発しました。この方法は、現在では基本群またはポアンカレ群と呼ばれており、この記事で紹介されている定理の証明の 1 つで使用されています。
ある意味、ポアンカレのアプローチは、コーシー-リプシッツの定理を一般化した現代の数学者であるエミール ピカールのアプローチに似ています。ピカードのアプローチは、後でバナッハの別の不動点定理によって形式化される結果に基づいています。この定理は、定義域のトポロジカルな性質に基づいているのではなく、研究対象の関数が収縮しているという事実に基づいています。
最初のデモンストレーション
20世紀初頭、分析状況への関心が注目されるようになりました。一方で、論文と同等の定理の必要性はまだ明らかではありません。ラトビアの数学者ピアーズ・ボールは、位相幾何学的手法を応用して微分方程式を研究しています。 1904 年に、彼は次元 3 の記事の結果を実証しましたが、彼のテキストは注目されませんでした。
この定理に「高貴」という頭文字を与えたのは、最終的にブラウワーでした。彼の目的はポアンカレの目的とは異なります。この数学者は数学の基礎、主に論理とトポロジーに情熱を注いでいます。その最初の関心は、ヒルベルトの 5 番目の問題を解決する試みにあります。 1909年、パリへの旅行中にポアンカレ、アダマール、ボレルに出会った。その後の議論により、ブラウワーはユークリッド空間のトポロジーをより深く理解することの重要性を確信し、それがアダマールとの実りある書簡関係の始まりとなった。次の 4 年間、彼はこの問題に関する特定の主要な定理を確立することに集中しました。その年、ブラウワーは、二次元球体に対する毛むくじゃらのボール定理と、二次元ボールをそれ自体に連続的に適用すると固定点があるという事実を実証しました。これら 2 つの結果自体は、それほど新しいものではありません。アダマールが指摘しているように、ヘアリー ボール定理と同等のものがポアンカレによってすでに実証されています。ブラウワーのアプローチの革新的な側面は、ポアンカレのグループの基本概念であるホモトピアなど、最近開発されたツールの体系的な使用で構成されます。翌年、アダマールは、異なる方法を使用して、冠詞定理を任意の有限次元に一般化しました。ハンス・フロイデンタールは、それぞれの役割について次のようにコメントしています。 「ブラウワーの革命的な手法と比較すると、アダマールの手法は非常に伝統的ですが、ブラウワーのアイデアの誕生に対するアダマールの参加は、単なる観客というよりも助産師のそれに似ています。」
ブラウワーのアプローチは実を結び、1912 年には任意の有限次元や次元不変性などの重要な定理に対して有効な証明も発見しました。この研究の文脈において、ブラウワーはまた、ジョーダンの定理を任意の次元に一般化し、応用の次数に関連する特性を確立しました。当初ポアンカレによって構想され、ブラウワーによって開発されたこの数学の分野は、その名前を変更しています。 1930 年代には、解析状況は代数トポロジーになりました。
ブラウワーの名声は、トポロジーにおける彼の研究の結果だけではありません。彼はまた、当時集合論の形式主義に反対することを意図していた直観主義と呼ばれる、数学を形式化する方法の著者であり、熱心な擁護者でもあります。ブラウワーが建設的な実証に基づいた証明を好むのであれば、皮肉なことに、彼のトポロジーの偉大な定理の起源にある証明はそうではなく、それらを見つけるには 1967 年まで待たなければなりません。
定理の後世
この記事の定理は、少なくとも 2 つの点で基本的であることが判明しました。 20世紀には、多数の不動点定理が開発され、この問題に関する理論さえも開発されました。ブラウワーのものはおそらく最も重要です。これは、位相多様体のトポロジーの基礎定理の 1 つでもあり、ジョルダンの定理などの他の重要な結果を証明するためによく使用されます。
多かれ少なかれ収縮関数を起源とする不動点定理以外にも、論文の結果から直接的または間接的に生じる不動点定理は数多くあります。ユークリッド空間の閉じた球をその境界に連続的に写像することはなく、その境界は不変のままです。同様に、 Borsuk-Ulam の定理は、 R nにおける次元nの球の連続マップには、同じ画像の少なくとも 2 つの対蹠点があることを示します。有限次元の場合、レフシェッツの不動点定理は、1926 年に不動点を数える方法を確立しました。ブラウワーの不動点定理は 1930 年にバナッハ空間に一般化されました。この一般化はシャウダーの不動点定理と呼ばれ、その結果は S. カクタニによって多声関数にさらに一般化されました。私たちが遭遇するのはトポロジーの定理やその化身だけではありません。特定の平衡点付近における特定の微分方程式の挙動の定性的性質を確立するハートマン・グロブマンの定理は、この記事の結果で実証されています。同じテーマで、中心多様体定理も証明に Brouwer の不動点定理を使用します。私たちは依然として、特定の偏微分方程式の解の存在を証明する定理を発見しています。
他の地域も影響を受けます。ゲーム理論では、ジョン ナッシュはこの定理を使用して、ヘックス ゲームでは白がプレイして勝つような戦略があることを証明しました。経済学では、P. ビッチは、定理の特定の一般化が、その使用が「ゲーム理論または一般均衡におけるいくつかの古典的な問題 (ホテリング モデル、不完全市場における金融均衡など)」に役立つことを示していると述べています。