導入
数学、特に代数学では、ガロア理論の枠組み内で、二次拡張タワーは次の特性を持つ一連のフィールドL 0 、 L 1 、…、 L nです: iが 1 からnまでの整数の場合この場合、 Ｌ i-1はＬ iに含まれ、 Ｌ i はＬ i-1の二次拡張である。
二次拡張タワーは一般に強い特性を持っています。基底体が標数 2 を持たない場合、それは有限で分離可能な代数拡張です。
二次拡張タワーの概念は、ガウス ヴァンツェルの定理を証明し、古代数学の 3 つの大きな未解決の問題、つまり立方体の複製、角の三等分、および作図を解決することを可能にするものです。定規とコンパスを使用して作成できる正多角形のリスト。
モチベーション
歴史的には、二次拡張タワーのアイデアの起源となったのは、カール フリードリッヒ ガウスによる円分多項式の解析でした。 1801 年に出版された著書『算術計算』の中で、彼は単位の 17 番目の原始根の円分多項式を解く方法を書き、定規とコンパスを使用して 17 の正多角形、つまり 17 の正多角形を推定しました。側面。
Evariste Galois による進歩により、代数拡張のより深い理解が可能になります。定規とコンパスを使用した構築に関するいくつかの結果が実証可能になります。構築可能な数と二次拡張タワーとの関係を確立するだけで十分です。実際、数値は、最初の要素が有理数体である二次拡張タワーの要素である場合にのみ構築可能です。
Pierre-Laurent Wantzel は 1837 年の論文「幾何学問題が定規とコンパスで解決できるかどうかを認識する手段に関する研究」の中で、二次延長タワーの概念を形式化し、構成可能な数との関係を確立しました。ただし、この手法は完成した拡張機能のみを扱います。最後の古代の問題、つまり円を二乗する問題は、解決するには超越数に関する他の技術の開発が必要です。この結果は、1882 年にフェルディナント フォン リンデマンによって実証されます。
二次拡張の概念が構成可能な単一の原始根と調和して融合する場合、一般的な場合、それらはガロア拡張ではないため、その有用性は本質的に構成可能な数の特性を理解することに限定されます。
例
すべての二次拡張は二次拡張タワーです。したがって、複素数の体は実数上の二次拡張タワーです。有理数体上の２の平方根によって生成される体も同様です。一方、シーケンスには 1 つの要素しか含まれていないため、二次拡張タワーの概念はこの場合にはあまり意味がありません。したがって、二次拡張の概念で十分です。
n を整数とし、オイラー指標関数がフェルマー素数になるようにします。次に、単一の原始根の円分拡張は二次拡張ツアーに分解されます。この結果は、ケース 5 と 17 についての円分多項式の記事で確立されています。それは二次拡張塔の特性に関する段落で一般的に確立されています。
a を整数、 r をaの p 乗根とし、 p は2 の累乗とします。この場合、 a は長さpの二次拡張タワーに含まれます。実際、 pがp = 2 nで表される場合、n に関する単純な再帰によって結論が得られます。 n が 1 に等しい場合、 r は方程式X 2 – a の根です。したがって、 r は2 次拡張の要素、つまり 2 次拡張タワーの要素になります。結果が次数kで確立され、 n がk +1 に等しいと仮定します。次に、帰納法仮説により、 rの平方根s は二次拡張タワーL 0 , …, L kの要素になります。ここでrは方程式の解ですこれは結果を示しています。一方、この拡張機能には優れた特性がすべて含まれているわけではありません。一般的なケースでは正常ではありません。 n が 2 に等しい場合を考えてみましょう。 2 の 4 乗根の最小多項式の 4 つの根のうち 2 つは複素数ですが、拡張は複素数ではありません。
