複素数の根について詳しく解説

導入

複素数zの平方根は、 w ² = z を満たす複素数wです。すべての複素数には、0 を除く 2 つの異なる平方根があり、平方根は 0 だけです。たとえば、-1 の 2 つの平方根はiと-iです。ここで、 iは虚数単位です。より一般的には、 zのn 乗根は、 w ⁿ = z を満たす複素数wです。 0 を除けば、あらゆる複素数には、正確にn個の異なるn乗根が認められます。例えば、

ユニット 1 のn乗根は、次数nの巡回群である U _nで示される積の群を形成します。

Cでは平方根を連続的に求めることはできません。より正確に言えば、継続的な適用はありません

数式

デカルト座標の平方根。

極座標のk乗根。

極座標では、複素数はz = r e ^{i θ}と書きます。ここで、 rは正です。 zがゼロ以外の場合、 r は正になります。 zのk乗根は、 w ^k = zとなる複素数wです。数はkあり、次の式で明示的に与えられます。

$$ {w=\sqrt[k]{r}e^{i\theta/k}e^{2i\pi q/k}} $$

または

$$ {q=0,\dots, k-1} $$

。

k=2 の場合、平方根の説明が見つかります。この検証は、ドゥ モアブルの公式を応用したものです。

団結の根幹

単位円上に位置する単位の 12 乗根。

単位 1 のk乗根は、ド モアブル数と呼ばれることもあります。 1 のn乗根と 1 のk乗根の積は、1 のr乗根です。ここで、 r = p g c d ( k , n )です。特に、1 のk乗根の集合U _{k は}複素乗算によって安定します。それは有限の集団です。 1 のk乗根は次のように書かれます。

$$ {\exp\left[2i\pi\frac{q}{k}\right]} $$

または

$$ {q=0,\dots, k-1} $$

。

群U _{k は}巡回であり、その生成子は 1 の原始根と呼ばれます。

単位のすべての k 乗根は単位円上に位置し、接辞 1 を持つ頂点を持つ正 k 辺多角形の頂点です。

存在

上記の式は、平方根と 1 のk乗根の存在を示しています。それにもかかわらず、 k乗根の公式は複素指数の定義と de Moivre の公式に依存しています。このアプリケーションは整数シリーズとして定義されており、整数関数の例です。ここでは複雑な分析が暗黙的に使用されています。

代数学の基本定理

カール・フリードリヒ・ガウス、基本定理の最初の厳密な証明は彼に負う

代数の基本定理をここに適用することができ、ゼロ以外の複素数には正確にk個の異なる複素根があることがわかります。

代数学の基本定理には多くの証明があります。一部は専用の記事で詳しく説明されています。ほとんどの場合、トポロジと分析ツール、さらには複雑な分析が使用されます。ド・モアブルの公式を避けるためにそれをここに適用することは、代数のみを使用する証明がある場合にのみ意味を持ちます。このような実証は、 1795 年にラプラスによって提示されたアイデアを修正するもので、1952 年にニコラ ブルバキ集団によって発表されました。

ダランベールとアルガンに帰せられる証拠をここで使用することは無効です。この証明は実際に 1941 年にリトルウッドによって完成され、複素数のk乗根の構築に基づいています。この構築では de Moivre 公式を使用すべきではありません。

リトルウッドの補題

1941 年にリトルウッドによって提案された代数学の基本定理の証明^{[ ref. [desired]}は基本的に d’Alembert によって与えられ、Argand と Cauchy によって修正されたものですが、各複素数に対して少なくとも 1 つのk乗根が存在するという補題において、ド モアブルの公式の使用を避けている点が異なります。つまり、次の定義に依存しています。 R ₊上のルートの一部を作成し、少しのトポロジーを使用します。

• まず、 kが奇数の場合、すべての非ゼロ複素数z が少なくとも 1 つのk乗根を持つことを示します。この方法 (基本定理の証明に関する Cauchy の方法に類似) は、 Q ( X ) = X ^k − zを設定し、次の最小値を実現する複素数w を選択することです。 Q ( w ) |複素平面上で、 Q ( w ) = 0 であることを示します。
  • まず、 wがゼロではないことを示します。これを行うには、 u ₀ = z / | を設定します。 z | (これはモジュール 1 の複素数です)、 |となるように 1、-1、i、および -i からu を選択します。 u − u ₀ | < 1 であり、 v = ^ukと設定します。それで
    $$ {v^k=u^{(k^2)}=u} $$
    ( u ⁴ =1 であり、 k ^{2 は}1 を法とする4 に合同であるため)。それからポーズをとります
    $$ {y=\sqrt[k]{|z|}v} $$
    。次に |Q( y )|=||z| u – z |<|z|=|Q(0)| したがって、最小値が達成されるのは 0 ではありません。つまり、 w は確かにゼロではありません。
  • 次に、 Q ( w ) = 0であると推定します。これを行うには、特定の多項式Rに対してQ ( w + h ) = ( w ^k − z ) + k w ^{k − 1} h + h ² R ( h )と書きます。のために
    $$ {|h|\le 1} $$
    、 我々は持っています
    $$ {|h^2R(h)|\le\alpha |h|^2} $$
    ここで、α はRの係数のモジュールの合計です。のために
    $$ {h=-t\frac{w^k-z}{kw^{k-1}}} $$
    0付き
    $$ {|Q(w)|\le|Q(w+h)|\le(1-t)|Q(w)|+\beta t^2} $$
• 次に、その 2 値、つまりkが 2 ^rで割り切れる最大の整数rに関する帰納法によって、前の結果を任意の整数k > 0 に拡張します。
  • ケースr =0 は、すでに見た奇数k のケースに対応します。
  • 漸化式ステップは、 k =2 qの場合、およびw がzの 2 つの平方根 (デカルト座標の式で与えられる) の 1 つである場合、 wのq乗根はzのk乗根であることに注意することによって行われます。

この補題 (少なくとも 1 つのk乗根の存在) が確立されると、ダランベールによって与えられ、アルガンとコーシーによって修正されたものと同じ方法で、代数学の基本定理の証明が続けられます。次に、この定理 (上記を参照) から、ゼロ以外の複素数は正確にk k乗番目の複素根を許容すると推論します。