導入
ユークリッドは、特に与えられた 2 点を通る線を引くことが常に可能であること、および与えられた中心を持ち与えられた点を通過する円を描くことが常に可能であることを保証する公理系に基づいて幾何学を構築しました。したがって、ユークリッド幾何学は線と円の幾何学であり、したがって定規とコンパスの幾何学です。ユークリッドの直感は、これら 2 つの手段を使用して任意の数を構築、または「取得」できるということでした。
この予想は一方で、数の定義に疑問を投げかけます。辺 1 の正方形の対角線は構成可能であるため、有理数はすべての長さを表現するのに十分ではありませんが、数 √2 に対応し、これは簡単に証明されます。 2 つの整数の比になることはあり得ません。その一方で、円の2 乗、角度の 3 等分、立方体の複製など、不可能な解決策の探索に数学コミュニティを参加させることができます。構成可能な数と構成可能な多角形の探索は、代数とガロア理論の発展の後、構成可能な多角形に関するガウス-ヴァンツェルの定理と構成可能な数に関するヴァンツェルの定理につながります。
Georg Mohr (1672)、次にLorenzo Mascheroni (1797) は、定規とコンパスを使用するあらゆる構築がコンパスのみを使用して実行できることを証明します。
建築における定規とコンパス
構造と定規、コンパスと建築を結び付けるリンクは非常に密接です。
幾何学は建築家にいくつかのリソースを提供します。建築家は定規とコンパスに慣れることができ、特に建物の位置を決定するために使用します。 (ウィトルウィウス)
中世においては、幾何学の知識を持った建築家が宗教指導者と対等に議論を交わしました。文字を読める人がほとんどいない社会では、定規とコンパスを使って作られた図面が、建築家と作業員の間の唯一の簡単なコミュニケーション手段です。ただし、長さの単位が完全に標準化されていないため、スケールの問題があります。そして地上では、コンパスを持って、建築家と作業員の間の橋渡し役として機能するパーリエまたは現場管理者が活動します。これらは、その構築にコンパスと定規を使用しますが、測定サイズが大きすぎる場合には、定規に代わる線（直線で引いた線）とコンパスも使用します。定規とコンパスは広場に関連付けられ、建築家、大聖堂のマスター建築家、または世界の建築家のシンボルになります。したがって、私たちはそれらをフリーメーソンの紋章の中に見出すことができます。
幾何学の定規とコンパス
幾何学では、定規 (目盛なし) とコンパスが平面幾何学で作業するための基本ツールです。これらは、軸や対称の中心、平行または垂直などの単純な構造を可能にし、いわゆる三角形の注目すべき要素の研究の起源となります。しかし、正七角形の構築や立方根の抽出など、特定の構築は依然として実現不可能です。
調停者と二等分線
幾何学の主な構築は間違いなく、セグメントの二等分線を描くことです。線分 [ AB ] の二等分線は、その中点Iで [ AB ] を垂直に切った線dです。しかし、それはセグメントの端から等距離にある点のセットでもあります。したがって、コンパスをセグメントの長さの半分より長い長さに開き、この半径で 2 つの円をトレースするだけで十分です。1 つはAを中心とし、もう 1 つはBを中心とします (円弧よりも単純に描くことができます)。 2 つの円の交点は、 AおよびBから等距離にある 2 つの点で構成され、したがって二等分線を明確に定義します。
この方法では、中点を配置したり、垂線を作成したりすることもできます。
角度の二等分線、より正確には角度扇形の二等分線が、この扇形の対称軸になります。角の頂点を中心とする同じ円と半線の交点を作成することにより、各半線上に頂点から等距離の 2 点を作成するだけで十分です。これらの 2 点を同じ半径の 2 つの円の中心として取り、目的の二等分線に属する 2 つの点で交差する円の 2 つの円弧を作成します。
したがって、定規とコンパスを使用して、角度を 2 つの等しい部分に切断することが常に可能です。しかし、定規とコンパスを使用して角度を 3 等分することが常に可能であるとは限りません。角の三等分の問題です。
中央と対称
線分 [AB] の中点は、線分 (AB) と線分 [AB] の二等分線との交点を作成することによって取得されます。
点 A の B に対する対称性は、線分 (AB) と、A を通る中心 B の円との交点 (A とは異なる点) を作成することによって得られます。
点 C の線 (AB) に対する対称性は、C を通る中心 A の円と C を通る中心 B の円との交点 (C とは異なる点) を作ることによって得られます。は直線 (AB) 上にあり、それ自体が対称であり、構築は必要ありません。
 点対称の作図 |  直線に対して対称な構造 |
垂直と平行
点 C を通る直線 (AB) に対する平行線は、中点線の性質を使用して作成されます。 A に関して点 C の対称 C1 を構築し、次に B に関して点 C1 の対称 C2 を構築します。求める直線は直線 (CC2) です。  パラレルの構築 | (AB) 上にない点 C を通る線 (AB) に対する垂線は、点 C を線 (AB) に関して対称に結ぶ線 (CC’) です。点 C が (AB) 上にある場合、点 A (または点 B) の C に関して対称な A’ (または B’) を取るだけで、垂線は [AA’] (または [BB’) の二等分線になります。 ])  垂線の構築 |
三角形の幾何学
三角形はユークリッド幾何学の象徴的な図形です。二等分線、二等分線、高さ、中央値、オイラー円、オイラー線といったすべての注目すべき要素は、定規とコンパスを使って作成できます。
正多角形
正多角形は、円内に書くことができ、すべての辺が等しい多角形です。定規とコンパスを使えば、三角形、四角形、六角形を簡単に作図できます。もっと難しくすれば、五角形を作ることができます。二等分線を描画し、たとえば次のようなポリゴンを構築することで、構築可能な多角形の辺の数を非常に簡単に 2 倍にすることができます
10 辺未満の多角形のうち、残りの 7 角形 (7 辺) と 19 角形 (9 辺) は構築不可能です。 Gauss を待ってから、Wantzel が構築可能なすべてのポリゴンの一覧を取得するまで待つ必要があります。
正五角形の作図： | 正六角形の構造: 六角形の構築は、同じ半径の 3 つの円を使用するだけで簡単に行えます。これは、60°の角が3つある正三角形の性質と、六角形の中心角が60°に等しいという事実を利用しています。 |
構成可能な数値
Euclid の場合、構成可能な数値は、構成可能な長さに関連付けられた数値です。現在、構成可能数値とは、グリッドから構成可能な点の座標として得られる数値です。構成可能な数のセットには有理数のセットが含まれていますが、厳密には代数的数のセットに含まれることがわかりました。特に、超越数π は構成可能ではなく (円を二乗する)、