リー群とは、数学的な意味で連続的な群です (つまり、その各要素が少なくとも 1 つの他の要素に限りなく近い)。
簡単な例は、SO(2, で示される 2×2 回転行列のグループ) です。
それは単一の角度λ によってパラメータ化されます。したがって、その多様性は 1 次元 (円) になります。パラメータ要素 λ の逆数はパラメータ要素 −λ で与えられ、パラメータ要素 λ と μ の積はパラメータ要素 λ+μ で与えられるため、これは確かに群です。
より正確には、数学では、リー群は群構造を備えた実数または複素微分多様体であり、この群に対する演算も微分可能または正則でなければなりません。この概念は、微分方程式の特定の性質を研究するために 1888 年にノルウェーの数学者Sophus Lie によって導入され、量子物理学で一般的に使用されています。代数的な類似物が存在します。これらは代数群 (群構造を持つ代数多様体) です。
リー群の例として、ユークリッド空間を挙げることができます。
定義
次の場合、代数構造Gは実数または複素リー群になります。
- G は実数または複素微分可能な多様体です。
- G 、 G × Gの2つの機能を搭載$$ {\rightarrow} $$G (乗算) とG$$ {\rightarrow} $$G (反転) はグループです。
- 乗算および反転マップは微分可能または正則です。
連続群演算のみを使用する微分多様体としてリー群を定義することもできます。この定義は前の定義と同等であり、ヒルベルトの5 番目の問題の解釈です。
リー群の次元は、多様体としての次元として定義されます。
基礎となる微分多様体がp進解析集合に置き換えられる場合、p 進リー群という類似の概念もあります。これは、たとえば、代数群のp進点のグループの場合に当てはまります。
プロパティ
リー群の種類
リー群は、代数的性質 (アーベル、単純、半単純、可解、零能) または位相的 (連結、単純連結、コンパクト) に従って分類されます。
準同型性と同型性
GとH が2 つのリー群 (実数または複素数の両方) の場合、リー群準同型f : G
２つのリー群準同型を合成したものがリー群準同型であり、すべてのリー群のクラスはリー群準同型を矢印とする圏である。 2 つのリー群の間に、その逆数も準同型である全単射準同型が存在する場合、それらは同型であると言われます。
同型まで同定された次元nの実数または複素リー群のクラスは集合です。
リー群に関連付けられたリー代数
リー代数を任意のリー群Gと自然に関連付けることは可能です。このリー代数を導入するには 2 つの同等の方法があります。 1 つはGにベクトル場の空間を導入することで構成され、 2 つ目は、 Gの内則の局所表現から派生して、中立要素の接線空間にLie フックを提供することで構成されます。
ベクトル場代数として
G は、次元nの実数または複素数のリー群を示します。 g がG の要素である場合、写像L g : G
任意の実数または複素微分多様体Mについて、 I(M)で示されるM上のベクトル場の実数または複素数ベクトル空間には、実数または複素数のリー代数の自然構造が与えられ、そのフックはベクトル場のフックになります。 。自然性とは、あらゆる射f : Mを正確に意味します。
接空間として
T e G をeからGまでの接空間とし、 e はGの中性要素を指定します。アプリ
この構造は直接定義できます。 fにf ( e ) = 0 の中立要素eのGのローカル マップが与えられたと仮定すると、ローカル マップfで読み取られる積マップは 2 次までになります。
f ( f -1 (a). f -1 (b))=a+b+B(a,b)+…
ここで、 B は反対称双線形形式です。 T e G上のリー代数構造は次のように与えられます。
- [ X , Y ] = B ( X , Y ) 。
指数関数的な適用
最初のプレゼンテーションでは、 gのベクトルX は定義上、 G上の左不変ベクトルです。左不変性は、そのフローがグローバルに定義されていることを意味します。 Xの指数は、中立要素の時間1 の画像として定義されます。より正確には、一意の関数cがあります。
- c ‘ ( t ) =
そしてc (0) = 1
これには次のような注目すべき特性があります。
- c ( s + t ) = c ( s )。 c ( t ) [ eq.2 ]
すべてのsとtに対して。
次のように書くことができます: e v = c (1)
変数tを含む再パラメータ化は次のようになります。
- c ( t ) = etv [ eq.3 ]
c (0) = 1 ; を確認できます。 d ( c ( t ) ) / dt = vetv ; d ( c (0))/ dt = X [ c ( 0)]= v 。
この関数は指数関数とも呼ばれ、リー代数g をリー群Gに関連付けます。これは、gの 0 の近傍とGのeの近傍の間の微分同相写像を定義します。ただし、一般に、指数マップは全射的ではありません。
Gの 1 パラメータ部分群は微分可能写像cです。
リー群の分類
いくつかのリー群は、同じ関連するリー代数を共有できます。ただし、任意のリー代数gは、同型写像まで固有の単純結合リー群Gに対応します。さらに、この同型性は、関連するリー代数の同型性によってのみ決定されます。リー代数がgと同型である連結リー群は、離散正規部分群によってGの商として実現されます。
接続されたリー群は、関連するリー代数が同じ名前の性質を持っている場合に限り、単純、半単純、可解、零能、またはアーベル群となります。特に、半単純リー代数の分類により、単純結合リー群と半単純リー群の分類が得られます。
例
本物の嘘グループ
| リーグループ | 説明 | プロパティ | リー代数 | 説明 | 寸法 |
|---|---|---|---|---|---|
$$ {\mathbb R^n} $$ | 加法を含むユークリッド空間 | アーベル人。コンパクトではなく接続するだけ | $$ {\mathbb R^n} $$ | 嘘のフックは最悪だ | n |
$$ {\mathbb R^*} $$ | 乗算を伴う非ゼロの実数 | アーベル人;接続されていない、コンパクトではない | $$ {\mathbb R} $$ | 嘘のフックは最悪だ | 1 |
$$ {\mathbb R^*_+} $$ | 乗算で提供される厳密に正の実数 | アーベル人;コンパクトではなく接続するだけ | $$ {\mathbb R} $$ | 嘘のフックは最悪だ | 1 |
$$ {S^1=\mathbb R/\mathbb{Z}} $$ | 乗算を伴うモジュール 1 の複素数 | アーベル人;単に関連しているだけではなく、関連性があり、コンパクトです | $$ {\mathbb R} $$ | 嘘のフックは最悪だ | 1 |
$$ {GL(n,\mathbb R)} $$ | 一般線形群: 可逆なn × n実数行列 | 接続されていない、コンパクトではない | $$ {\mathcal M_n(\mathbb R)} $$ | n × n行列、リーフックが交換子 | n² |
$$ {GL^{+}(n,\mathbb R)} $$ | 正の行列式を持つn × n実数行列 | コンパクトではなく接続するだけ | $$ {\mathcal M_n(\mathbb R)} $$ | n × n行列、リーフックが交換子 | n² |
$$ {SL(n,\mathbb R)} $$ | 特殊線形群: 行列式 1 の実数行列 | 単純接続、 n > 1 の場合は非コンパクト | $$ {sl(n,\mathbb R)} $$ | ゼロトレースの正方行列、リーフックが交換子 | n² -1 |
$$ {O(n,\mathbb R)} $$ | 直交群: 実直交行列 | 無関係、コンパクト | $$ {so(n,\mathbb R)} $$ | 実正方非対称行列。リーフックが交換子です。 $$ {so(3,\mathbb R)} $$ と同型である$$ {su\left(2\right)} $$ そして$$ {\mathbb R^3} $$ ベクター製品に付属 | n ( n -1)/2 |
$$ {SO(n,\mathbb R)} $$ | 直交特殊群: 行列式 1 の実直交行列 | n =3 およびn ≥5 の場合は単純および半単純。 n ≥ 2 で単純に接続されるのではなく、接続され、コンパクトになります | $$ {so(n,\mathbb R)} $$ | 実正方非対称行列、リーフックが交換子である | n ( n -1)/2 |
$$ {Spin\left(n\right)} $$ | スピングループ | n =3 およびn ≥5 の場合は単純および半単純。シンプルな関連性、コンパクトさ | $$ {so(n,\mathbb R)} $$ | 実正方非対称行列、リーフックが交換子である | n ( n -1)/2 |
$$ {Sp(2n,\mathbb R)} $$ | シンプレクティック群: 実シンプレクティック行列 | シンプル、セミシンプル。コンパクトではない | $$ {sp(2n,\mathbb R)} $$ | JA + A T J = 0 を満たす実数行列 ( Jは標準非対称行列) | n ( 2n +1) |
複雑なリー群
寸法は次のとおりです。
| リーグループ | 説明 | プロパティ | リー代数 | 説明 | 寸法 |
|---|---|---|---|---|---|
$$ {\mathbb C^n} $$ | 加法を含むユークリッド空間 | アーベル人;コンパクトではなく接続するだけ | $$ {\mathbb C^n} $$ | 嘘のフックは最悪だ | n |
$$ {\mathbb C^*} $$ | 乗算を伴う非ゼロ複素数 | アーベル人;ただ接続するだけではなく、コンパクトでもない | $$ {\mathbb C} $$ | 嘘のフックは最悪だ | 1 |
$$ {GL(n,\mathbb C)} $$ | 一般線形群: 可逆なn × n複素行列 | 接続するだけでコンパクトではありません。同型 $$ {\mathbb C^*} $$ n =1の場合 | $$ {\mathcal M_n(\mathbb C)} $$ | n × n行列、リーフックが交換子 | n² |
$$ {SL(n,\mathbb C)} $$ | 特殊線形群: 行列式 1 の複素行列 | シンプル、セミシンプル。単純接続、 n ≥2 の場合は非コンパクト | $$ {sl(n,\mathbb C)} $$ | ゼロトレースの正方行列、リーフックが交換子 | n² -1 |
$$ {O(n,\mathbb C)} $$ | 直交群: 複素直交行列 | 接続されていない、 n ≥2 の場合コンパクトではない | $$ {so(n,\mathbb C)} $$ | 複素正方非対称行列、リーフックが交換子である | n ( n -1)/2 |
$$ {SO(n,\mathbb C)} $$ | 直交特殊群: 行列式 1 を持つ複素直交行列 | n =3 およびn ≥5 の場合は単純および半単純。 n ≥2 では単純に接続されておらず、コンパクトではありません | $$ {so(n,\mathbb C)} $$ | リーフックが交換子となる複素正方非対称行列 | n ( n -1)/2 |
$$ {Sp(2n,\mathbb C)} $$ | シンプレクティック グループ: 複素シンプレクティック行列 | シンプルかつセミシンプル。コンパクトではない | $$ {sp(2n,\mathbb C)} $$ | JA + A T J =0 を満たす複素行列 ( Jは標準非対称行列) | n ( 2n +1) |
$$ {U\left(n\right)} $$ | ユニタリ群: 複素数n × nユニタリ行列 | ただつなぐだけではなく、コンパクトに。 n =1 の場合は S 1と同型 | $$ {u\left(n\right)} $$ | A =- A *を満たす複素正方行列A 、リーフックが交換子 | n² |
$$ {SU\left(n\right)} $$ | 特別なユニタリ群: 行列式 1 を持つ複素数n × nユニタリ行列 | n ≥ 2 の場合は単純および半単純。シンプルな関連性、コンパクトさ | $$ {su\left(n\right)} $$ | A =- A *を満たすゼロトレースAの複素正方行列、リーフックが交換子 | n² -1 |
四元数リー群
寸法は次のとおりです。
| リーグループ | 説明 | プロパティ | リー代数 | 説明 | 寸法 |
|---|---|---|---|---|---|
$$ {\mathbb{H}^{*}} $$ | 乗算を備えた非ゼロ四元数 | コンパクトではなく接続するだけ | $$ {\mathbb{H}} $$ | クォータニオン、リーフックが交換子である | 4 |
$$ {\mathbb S^3} $$ | 乗算を備えたモジュール 1 の四元数も記載されています $$ {Sp\left(1\right)} $$ | シンプル、セミシンプル。シンプルに関連しており、コンパクト。トポロジー的には球、と同型 $$ {SU\left(2\right)} $$ そして$$ {Spin\left(3\right)} $$ | 実数部がゼロの四元数。リー括弧はベクトル積です。 3 次元の実数ベクトルと同型、また $$ {su\left(2\right)} $$ そして$$ {so\left(3\right)} $$ | 3 | |
$$ {Sp\left(n\right)} $$ | コンパクトなシンプレクティック群: 四元数n × nユニタリ行列 | シンプル、セミシンプル。コンパクト、簡単接続 | $$ {sl\left(n\right)} $$ | A =- A *を満たす正方四元数行列A 、リーフックが交換子 | n ( 2n +1) |
例外的なリー群
いわゆる例外的なリー群を 5 つリストします。それぞれ E6、E7、E8、F4、G2 と表記します。