導入
数学では、計算とは、数量に対して実行される 1 つの演算または一連の演算のことです。当初、これらの量は数値でしたが、数学ツールと抽象化の開発により、現在ではより複雑なオブジェクト (関数、ベクトル、命題) に対して計算を実行できるようになりました。その後、コンピューティングによってさまざまな形式的なデータに対する計算が共通に行えるようになり、計算可能性理論の研究対象となった。
加算は計算例です。
語源
「微積分」という言葉は、ラテン語で「小さな小石」を意味する「calculus 」に由来しています。ジョルジュ・イフラによると、羊飼いたちは羊小屋の入り口と出口にある壺の中に石を入れて羊の数を数えていました。これらの小さな小石は、現在発見されている最も古い会計システムの 1 つの起源です。人、動物、または穀物の測定値を象徴したり、足し算や引き算を実行したりするために小石を使用することは、数学的計算の進化の基本です。最初のサイレントでシンボリックな計算ツールであり、そろばんという一連の計算補助ツールの先駆者です。
運営
同様の展開は、運用の分野でも見られます。最初の 4 つの演算は、複雑さの順に、加算、減算、乗算、除算です。加算または乗算の表から乗算または除算のアルゴリズムに至るまで、これら 4 つの演算に対して計算ルールが確立されています。
根の抽出 (平方根、立方根など) はより複雑なレベルです。 Liu Hui (263) がコメントした中国の書籍「The Nine Chapters」では、除算アルゴリズムに似た平方根を抽出するアルゴリズムが紹介されており、この演算は最も一般的に「平方根抽出による除算」と呼ばれます。
累乗 ( a bの計算) は、整数 b に対して古典的でしたが、後に有理数または実数 b に対しても使用されます。
計算対象が多様化するにつれて、演算も多様化します。実数による加算、減算、乗算の古典的な演算に加えて、行列積、ベクトルまたはベクトルのスカラー積を求めます。多項式の積を生成したり、ユークリッド除算を行ったり、微分したりすることもできます。また、微分可能関数の微分を計算したり、可積分関数を積分したり、数値関数の積を生成したり、アプリケーションを作成したりすることもできます。
数学における計算は、統計計算 (平均、分散、推定量) から積分計算、微小計算、形式的計算まで、数学のすべての分野をまとめたものです。
論理命題では、演算は論理演算子 (and、or、否定など) です。
計算対象
最初の計算は整数 (群れ内の動物の数、軍隊の兵士の数、カレンダーの日数、取引中に支払う価格または税金) に焦点を当てていました。数体系の発達により、 4千年紀末のシュメールやそれ以降のエジプトと同様に、分数 (長さまたは期間を表す) の計算を実行できるようになりました。
古代、ギリシャ人はそれほど差し迫った懸念を抱いていないようです。たとえば、この計算は「地球を測定する」という目的に向けられており、この幾何学作品には哲学的な意味が付加されている。「幾何学者でない限り、誰もここに入ってはならない」とペディメントの碑文には宣言されている。プラトンのアカデミーから。計算は、羊飼いや会計士が使用する計数ツールから、徐々に抽象化へと進化してきました。ギリシャの数学者は長さに取り組み、現在の有理数の概念と比較される可換性の概念 (2 つの長さを測定できる単位はありますか?) を研究しています。一辺が 1 の正方形の対角線、つまり2 の平方根を計算しようとすることで、彼らは通約不可能な数 (最近では無理数と呼ぶでしょう) の存在を発見し、構成可能な長さの概念を発明しました。数世紀にわたって、この種の数値の計算が行われてきました。
二次方程式の解を求めると、負の数または複素数の計算につながりますが、ダランベールは百科事典の中で、それらをそれぞれ偽根と虚根と説明し、最終的な計算の結果として受け入れません。実数の集合については、 19世紀末になって初めて明確に定義されました。
数値の計算 (数値計算) と並んで、アラビア語を話す数学者 (イブン アル バンナ、アル クワリズミ) の間で開発された多項式の計算は、代数計算の先駆者です。
François VièteとRené Descartesによって開発された記号表記法は、このタイプの計算をヨーロッパに導入しました。ヨーロッパでは、数値や計算の分野から自由に計算できる記号表記が、関数 ( 17世紀) やベクトル ( 19世紀) などの多様なオブジェクトに対して実行されています。 19世紀の終わりに向けて、ドイツの学派は集合 (演算が定義される本体、リングであり、古典的な加算と乗算とは遠い関係にありますが、それらには同じ表記法 (+ と ×) が使用されます) を作成しました。 . これが代数構造の誕生です。
19世紀から20世紀にかけて、数理論理学の発展により、論理命題という新しい応用分野がもたらされました。これは命題微積分の領域です。
