多重線形アプリケーション – 定義

導入

線形代数では、多重線形マップは、各変数で線形である複数のベクトル変数へのマップです。

いくつかの古典的な例:

• スカラー積は 2 つのベクトル変数を持つ対称双一次関数であり、基本本体に値があるため、双一次形式として修飾されます。
• 行列式は、正方行列の列 (または行) の反対称多線形関数です。

多重線形アプリケーションの体系的な研究により、行列式、外積、および幾何学的内容を含む他の多くのツールの一般的な定義を取得することが可能になります。代数の対応する分野は多重線形代数です。しかし、多様なコンテキストや差分トポロジーにも多くの応用例があります。

k 線形形式

k > 1 を整数とする。 Eを

$$ {f(x_1,\dots,x_{i-1}, ax_i+bx’_i,x_{i+1}, \dots, x_k )=a f(x_1,\dots ,x_i,\dots, x_k) + bf(x_1, \dots,x’_i,\dots x_k) } $$

この概念を、次のE ^kの線形適用の概念と混同しないでください。

$$ {f(ax_1+bx’_1,\dots,ax_k+bx’_k )=a f(x_1, \dots, x_k) + bf(x’_1, \dots,x’_k) } $$

非公式には、分布型プロパティを備えたk線形マップをk項の積マップとして表現する必要があります。

コンポーネントへの書き込み

空間Eが有限次元nであり、基底e ₁ ,…, e _nが与えられる場合、各ベクトルを分解できます。

$$ {x_j = \sum_{i=1}^n X_{i,j} e_i} $$

次に、 kタプルx ₁ ,…, x _k上のk線形形式の式は次のようになります。

$$ {f(x_1,\dots,x_k )= f\left(\sum_{i_1=1}^n X_{i_1,1} e_{i_1}, \dots, \sum_{i_k=1}^n X_{i_k,k} e_{i_k}\right)=\sum_{i_1=1}^n \dots \sum_{i_k=1}^n \prod_{j=1}^k X_{i_j,j} f(e_{i_1},\dots,e_{i_k}) } $$

nk^値の知識

したがって、次元nのベクトル空間E上のk線形形式は、次元n ^kのベクトル空間L _k ( E )を形成します。

交互の k 線形形式

Eのk線形形式は、2 つの同一ベクトルを含むkタプルで評価されるたびに消える場合、交互であると言われます。

$$ {[\exists i\neq j, x_i=x_j] \Rightarrow f(x_1,\dots, x_k)=0} $$

同様に、 k線形形式は、リンクされたすべてのkタプルにわたって消滅する場合、交互になります。

非対称性

交互するk線形形式は反対称です。つまり、2 つのベクトルを交換すると、得られる結果がその逆に変化する効果があります。

$$ {f(x_1,\dots, x_k) = -f(x_1,\dots, x_{i-1}, x_j, x_{i+1},\dots, x_{j-1}, x_i, x_{j+1}, \dots, x_k)} $$

ただし、次の場合を除きます。

反対称性のより一般的な形式

f が反対称k線形形式の場合、ベクトルの連続した交換をいくつか実行できます。したがって、一連の転置として得られるベクトルの順列を実行します。各段階で、符号は反対に変わります。最後に、ベクトルの一般的な置換の効果は、置換の署名によって得られる値の乗算です。

$$ {\forall \sigma \in \mathfrak{S}_k, \; f(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(k)})=\varepsilon(\sigma)f(x_1,\dots, x_k)} $$

この特性は、特に交互のk線形形式に当てはまります。

次元nの交互n線形形式

このセクションでは、行列式を構築できる特殊なケースk = nを検討します。

空間Eが有限次元nであり、基底e ₁ ,…, e _nが与えられる場合、各ベクトルを分解できます。

$$ {x_j = \sum_{i=1}^n X_{i,j} e_i} $$

次に、 nタプルx ₁ ,…, x _n上の交互のn線形形式の式が簡略化されます。同じベクトルが 2 回出現する項を削除すると、次のようになります。

$$ {f(x_1,\dots,x_n )= \sum_{(i_1, \dots,i_n)\in J} \prod_{j=1}^n X_{i_j,j} f(e_{i_1},\dots,e_{i_n})} $$

ここで、 Jはnタプル( i ₁ ,…, i _n )のセットで、[|1,n|] 内の各i _jとi _{j は}すべて異なります。

ただし、 ( i ₁ ,…, i _n )は、特定の順序で配置された 1 からnまでの整数です。言い換えれば、これらは 1 からnまでの整数の順列を形成します。 n整数の各順列は、前の合計で 1 回だけ見つかります。これによりインデックスを再作成できるようになります

$$ {f(x_1,\dots,x_n )= \sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_n} \prod_{j=1}^n X_{\sigma(j),j} f(e_{\sigma(1)},\dots,e_{\sigma(n)})} $$

最後に反対称によって

$$ {f(x_1,\dots,x_n )= \left(\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{j=1}^n X_{\sigma(j),j} \right) f(e_{1},\dots,e_{n})} $$

したがって、関数f を完全に決定するには、単一のスカラーf ( e ₁ ,…, e _n )の知識だけで十分です。

特に、基底e ₁ ,… , _enに対する適用の決定を、 f ( e ₁ ,…, e _n ) = 1となるような固有の交互n線形適用と呼びます。その特性は決定記事 (数学) で研究されています。

次元nの交互のk線形形式

次元nの交互k線形マップの場合、前の結果の一部のみを拡張できます。同じベクトルが 2 回出現する項はいつでも削除できます。

$$ {f(x_1,\dots,x_k )= \sum_{(i_1, \dots,i_k)\in J} \prod_{j=1}^k X_{i_j,j} f(e_{i_1},\dots,e_{i_k})} $$

ここで、 Jはkタプル( i ₁ ,…, i _k )のセットで、[|1,n|] 内の各i _jとi _{j は}すべて異なります。さらに、反対称によって、次の形式の項の組み合わせのみを保持するようにfの項を並べ替えることができます。

$$ {f(e_{i_1}, \dots, e_{i_k}) \qquad \text{ avec } 1\leq i_1

• k > nの場合、そのようなkタプルを見つけることはできません。これは、次元nにはゼロ形式以外の交互のk線形形式が存在しないことを意味します。

• もし
  $$ {k\leq n} $$
  、そのような並べ替えられたkタプルの数は二項係数です
  $$ {\tbinom{n}{k}} $$
  。前の段落と同様の実証により、交互のk線形形式は、これらのkタプルのfの与えられた値によって特徴付けられます。

最終的に、次元nの空間上の交互のk線形の空間は次の次元を持ちます。

より正確には、分解式は行列式の概念を使用して書くことができます。各係数は、 e _jの基底のベクトルx _iを表す行列のマイナーです。

$$ {f(x_1,\dots,x_k )= \sum_{ 1\leq i_1