The Elements (古代ギリシャ語でΣτοιχε?α / Stoikheía ) は数学および幾何学に関する論文で、テーマごとに構成された 13 冊の本で構成されており、紀元前 300 年頃にギリシャの数学者ユークリッドによって書かれたと考えられています。これには、ユークリッド幾何学と初期の数論に関する定義、公理、定理とその証明のコレクションが含まれています。
The Elements は幾何学を公理的かつ体系的に扱った知られている最古の例であり、西洋の論理と科学の発展に対するその影響は基本的なものです。これはおそらく歴史上最も成功したコレクションです。『エレメンツ』は最初に印刷された本の 1 つ (ヴェネツィア、1482 年) であり、出版された版数(1,000 を優に超える) で聖書だけが先行しています。何世紀にもわたって、それは大学の標準カリキュラムの一部でした。
原則
ユークリッドの方法は、定義、公準、および「通常の概念」(これら 2 つの用語は今日公理と呼ばれます) に基づいて研究を行うことで構成されていました。たとえば、ブック I には 23 の定義 (点、線、面など)、5 つの公準、および 5 つの通常の概念が含まれています。
Book I の公準:
- 任意の 2 点を結ぶことで線分を描くことができます。
- 線分は無限に延長して直線にすることができます。
- 任意の線分が与えられた場合、この線分を半径とし、その端の 1 つを中心として円を描くことができます。
- すべての直角は合同です
- 片側の内角の合計が 2 直角未満になるように 2 本の線が 3 番目の線と交差する場合、これら 2 本の線はその側で交差する必要があります。
書籍 I の一般的な概念:
- 同じものに等しいものは互いに等しい。
- 等しいものを他の等しいものに加えると、それらの和は等しくなります。
- 他の等しいものから等しいものを引くと、余りが等しくなります。
- 互いに一致するものは互いに等しい。
- 全体は部分よりも優れています。
後世
The Elementsの成功は主に、Euclid が利用できるほぼすべての数学的知識を論理的に表現したことによるものです。公理の縮小セットから証明を開発する体系的かつ効果的な使用により、何世紀にもわたって参考書としての使用が促進されました。
歴史を通じて、ユークリッドの公理と実証をめぐる論争がいくつかありました。それにもかかわらず、『The Elements』は科学の歴史における基本的な著作であり、多大な影響を及ぼしました。ヨーロッパの科学者ニコラウス・コペルニクス、ヨハネス・ケプラー、ガリレオ・ガリレイ、そして特にアイザック・ニュートンは全員『原論』に影響を受け、この本の知識を自分の研究に応用しました。一部の数学者 (バートランド・ラッセル、アルフレッド・ノース・ホワイトヘッド) や哲学者 (バルーク・スピノザ) も、それぞれの専門分野に適用される独自の要素、つまり公理的演繹構造を記述しようと試みています。
第 1 巻に記載されている 5 つの公準のうち、最後の公準は平行線の公準を導き出します。「直線の外側の点では、それに平行な 1 本の直線だけが通過する」というものは、常に公準よりも明白ではないと思われてきました。その他。何人かの数学者は他の公準からそれを証明できるのではないかと疑っていましたが、その試みはすべて失敗しました。 19世紀半ばにかけて、そのような実証は存在しないこと、第 5 の公準は他の 4 つの公準から独立しており、その否定を利用することで一貫した非ユークリッド幾何学を構築できることが証明されました。
歴史
長さと直交性の概念について最初に書かれた痕跡はバビロニアのもので、紀元前 1900 年から 1600 年の間に遡ります。広告[ 1 ] 。そこでは、少なくとも辺の長さがそれぞれ 3、4、5 である三角形の場合についてのピタゴラスの定理の知識が見つかります。
最初の形式化は、The Elementsという本にまとめられています。当時の数学的知識がすべて含まれています。ほとんどの定理は定理よりも前から存在していましたが、要素はそれ以前の幾何学的研究を覆い隠すほど十分に包括的かつ厳密であり、ユークリッド以前の幾何学についてはほとんど知られていません。
その著者であるアレクサンドリアのユークリッド(紀元前 325 ～ 265 年)はギリシャの数学者で、おそらくプラトン(紀元前 348 ～ 265 年)の弟子でした。その歴史も本書の歴史もあまり知られていない。それについては3つの仮説が立てられています。ユークリッドは次のとおりです。
- Elementsの歴史上の主要人物の作者、
- または数学学校の校長
- または、数学者のグループが編集物を書くために使用した著者の名前である場合、この名前はギリシャの哲学者メガラのユークリッド(紀元前 450 ～ 380 年)への参照となるでしょう[ 2 ] 。
最初の仮説が 2000 年以上にわたって何の疑いもなく受け入れられてきたとしても、それが依然として最も可能性が高いものです。その一方で、ユークリッドが精力的な数学学派の指導者であり、彼の弟子たちが原論の執筆に確かに貢献したことは事実上確立されています[ 3 ] 。ビザンチンの哲学者プロクロス(411-487)を信じるなら、キオスのヒポクラテス(紀元前 470-410 年)は、元素の書 I および II の内容の著者です。彼は自分自身について書いています。彼は現在「The Elements」として知られているコンピレーションのために書いた最初の人物です[ 4 ] 。
この作品はビザンチン帝国からアラブ人に贈られた後、アラビア語に翻訳され、その後アラビア語の文書に従ってラテン語に翻訳されました（12世紀のバースのアデラード、ノヴァーラのカンパヌスが取り上げた）。最初の印刷版は 1482 年に発行され、それ以来、この本はさまざまな言語に翻訳され、1,000 を超える異なる版が出版されています。ギリシャ語本文のコピーは、バチカン図書館やオックスフォードのボドリアン図書館などにまだ存在していますが、これらの写本は品質にばらつきがあり、常に不完全です。翻訳と原本を分析することで、完全なコピーが残っていないオリジナルの内容について仮説を立てることが可能になりました。
後の公理化
19世紀の数学者は、ユークリッドの実証には、原典には明記されていない追加の仮説が必要であることを発見しました。 David Hilbert は、 1899 年にThe Foundations of Geometryというタイトルの記事で完全なセットを提供するためにリストを修正しました。ヒルベルトの公理リストには20 が含まれています。
本
要素は次のように構成されます。
- 書籍 I ～ IV は平面幾何学を扱います。
- 書籍 V から X には次の比率が含まれます。
- 書籍 XI から XII までは空間内の幾何学を扱います。
2 冊の偽書があり、ヒースの翻訳には付録として掲載されています。