流体力学では、粘性や熱伝導率の影響を考慮せずにその動きを記述することができれば、流体は完璧であると言われます。非常に一般的に妥当な質量保存の仮説[ 1 ]を追加すると、流体は等エントロピーになります。
数学的には、これはナビエ・ストークス方程式の対応する項をキャンセルすることに相当し、流体のオイラー方程式が得られます。
これらは、粘度係数と熱伝導率 (これらの係数だけではありません) とそれぞれ速度せん断と熱勾配との積であり、これらは無視できるものでなければなりません。
粘度を持つすべての流体 (実際には極低温のヘリウムと中性子星の内部のみに関係する超流体を除く) において、完全な流体は、この粘度をゼロに近づけた場合の近似値にすぎません。これは、レイノルズ数が無限大に向かう傾向があることを意味します。ただし、この種の状況は、たとえば空気力学(非常に大きなレイノルズ数が発生する場合) などでは非常に一般的です。これらの条件下では、高せん断領域 (粘性と乱流が影響する領域) は制限された層 (境界層) に集中しており、完全な流体による流れの全体的な説明は適切である可能性があります。
宇宙論では、宇宙を満たすさまざまな形の物質は、少なくとも宇宙が均質であるスケールでは、完全な流体と考えることができます。完全な流体は等エントロピーであるため、宇宙の膨張は断熱的であると表現されることもあり、特定の側面では外部と熱交換を行わない気体の膨張と同一視されます。
必須のプロパティ
完全な流体は、質量保存方程式、粘性のないオイラー方程式、非散逸流体の基本方程式を形成するこれら 2 つの方程式、および熱力学の第一法則のバージョン、これら 2 つの側面 (流体力学と熱力学) に従います。密接に結びついていること。
最初の 2 つの方程式は、流体の密度をρ 、圧力をP 、速度をvとして記述します。
- $$ {\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho {\mathbf{v}}) = 0} $$、
- $$ {\frac{\partial {\mathbf{v}}}{\partial t} + ({\mathbf{v}} \cdot \nabla) {\mathbf{v}} = – \frac{\nabla P}{\rho} + {\mathbf{f}}} $$、
または
- $$ {{\mathbf{f}} = {\mathbf{g}}} $$、
熱力学的側面
通常、物理システム (この文脈では、特定の流体を含む小さな領域) の内部エネルギー密度は、その密度とエントロピーに依存します。実際、熱力学の第一法則では、システムの内部エネルギーU は次のように変化すると述べています。
- d U = − P d V + T d S 、
ここで、 P は圧力、 V は体積、 T は温度、 S はエントロピーを表します。完全な流体の場合、定義によりd S = 0になります。
- d U = − P d V 、
これは、流体要素のエネルギー密度と圧力の間には外部パラメータに依存せず一義的な関係があると言うのと同じです。次のように定義される内部エネルギー密度に移ると、
- $$ {\epsilon = \frac{U}{V}} $$、
次に取得します
- d(ε V ) = − P d V 、
したがって
- $$ {{\mathrm{d}} \epsilon = – (P + \epsilon) \frac{{\mathrm{d}} V}{V}} $$。
数学的形式主義
完全な流体は、運動量エネルギー テンソルT を使用して記述できます。そこから、完全流体が従う方程式 (質量保存とオイラー、熱力学の第一原理) を見つけることができます。これは書かれています
- $$ {{\mathbf{T}} = \left(P + \rho\right) \frac{{\mathbf{u}} \otimes {\mathbf{u}}}{c^2} – P {\mathbf{g}}} $$、
または、コンポーネントの観点から、
- $$ {T^{\alpha \beta} = \left(P + \rho\right) \frac{u^\alpha u^\beta}{c^2} – P g^{\alpha \beta}} $$、
ここで、 ρ は流体のエネルギー密度、内部エネルギー密度εと質量エネルギー密度μ c 2の合計を表します。μ は流体要素の密度、 cは光の速度、 u は流体の四乗速度 (つまり、この要素の全体的な速度)、およびg計量テンソル。特殊相対性理論と一般相対性理論は、流体のエネルギー運動量テンソルは「保存」されている、つまり、その発散はゼロであると述べています。この方程式は成分の観点から次のように書かれます。
- $$ {D_\alpha \left(\left(P + \rho\right) \frac{u^\alpha u^\beta}{c^2} – P g^{\alpha \beta}\right) = 0} $$、
D は、常微分(特殊相対性理論) または共変微分(一般相対性理論) を表します。計算すると次のようになります。
- $$ {\frac{u^\alpha u^\beta}{c^2} D_\alpha \left(P + \rho\right) + \left(P + \rho\right) \frac{u^\alpha}{c^2} D_\alpha u^\beta + \left(P + \rho\right) \frac{u^\beta}{c^2} D_\alpha u^\alpha – D^\beta P = 0} $$。
この方程式により、前述の 3 つの方程式を見つけることができます。
量u α D α X は、流体要素の軌道に沿った量Xの変化を測定します。したがって、それは流体要素によって輸送されるこの量の変化に対応します。一般にd / dτと呼ばれます。τは流体要素に関連付けられた適切な時間です。したがって、次のようになります。
- $$ {\frac{u^\beta}{c^2} \frac{{\mathrm{d}}}{{\mathrm{d}} \tau} \left(P + \rho\right) + \left(P + \rho\right) \frac{1}{c^2} \frac{{\mathrm{d}} u^\beta}{{\mathrm{d}} \tau} + \left(P + \rho\right) \frac{u^\beta}{c^2} D_\alpha u^\alpha – D^\beta P = 0} $$。
この方程式のスカラー積を四辺計算で実行すると、 τに関する導関数を点で示すと、次のようになります。
- $$ {\left(\dot P + \dot \rho\right) + \left(P + \rho\right) \frac{u_\beta}{c^2} \dot u^\beta + \left(P + \rho\right) D_\alpha u^\alpha – \dot P = 0} $$。
定数ノルムu β u β = c 2を持つ 4 速は、次のタイプの量です。
- $$ {\dot \rho + \left(P + \rho\right) D_\alpha u^\alpha = 0} $$。
通常θで表される項D α u αは、流体要素の膨張と呼ばれます。非相対論的極限では、速度ベクトルの発散に対応し、その体積の変化率に対応します。したがって、私たちは、
- $$ {\theta = \frac{{\mathrm{d}} V}{V {\mathrm{d}} t}} $$、
これにより、方程式を書き直すことができます
- $$ {\frac{\partial}{\partial t} \rho + \left(P + \rho\right) \frac{{\mathrm{d}} V}{V {\mathrm{d}} t} = 0} $$。
最後に、粒子の数が保存されるという仮説を書きます。
- $$ {\frac{\partial}{\partial t} n + n \frac{{\mathrm{d}} V}{V {\mathrm{d}} t} = 0} $$、
ここで、 n は粒子密度を表します。それは次の式によって質量エネルギー密度に関係します。
- $$ {n = \frac{\mu c^2}{m c^2}} $$、
mは粒子の質量です。この方程式は、流体要素の粒子の数は一定であり、流れに沿った粒子の密度の変化は、実際には要素の体積の変化のみによるものであるという事実によって解釈されます。座標の観点に戻ると、粒子密度は空間と時間の座標の関数です。
- $$ {\frac{{\mathrm{d}} n}{{\mathrm{d}} t} = \frac{\partial}{\partial t} n + \frac{{\mathrm{d}}{\mathbf{x}}}{{\mathrm{d}} t} \cdot \nabla n} $$。
したがって、次のようになります。
- $$ {\frac{\partial}{\partial t} n + {\mathbf{v}} \cdot \nabla n + n \nabla \cdot {\mathbf{v}} = 0.} $$、
にグループ化できます
- $$ {\frac{\partial}{\partial t} n + \nabla \cdot (n {\mathbf{v}}) = 0} $$。
したがって、最初の方程式では、
- $$ {\frac{\partial}{\partial t} \epsilon = – (P + \epsilon) \frac{1}{V}\frac{\partial V}{\partial t}} $$、
宣伝どおり
- $$ {{\mathrm{d}} \epsilon = – (P + \epsilon) \frac{{\mathrm{d}} V}{V}} $$。
入手
顕微鏡レベルでは、流体の運動量エネルギー テンソルは、ラグランジュと呼ばれる量から始まる厳密なプロセスによって常に決定できます。たとえば、点粒子の運動量エネルギー テンソルは、それを記述するラグランジュ関数から直ちに推定されます。流体力学では、流体を構成する粒子の分布は、あるスケールを超えると連続媒体とみなせると考えられます。
一方、巨視的なレベルでは、エネルギー運動量テンソルが巨視的なラグランジュ関数から導出できると確信を持って言えるものはありません。通常、流体のエネルギー 運動量テンソルは、最初に粒子のエネルギー 運動量テンソルを記述し、次に空間領域内の粒子の特定の分布 (分布の関数) を仮定し、次に個々のエネルギー 運動量を平均することによって決定されます。ボリューム上のテンソルは、問題の次元と比較すると小さいですが、粒子間の分離と比較すると大きいです。一連の粒子にわたってすでに「平均化」されているラグランジアンからエネルギー運動量テンソルを見つけることが可能であることを確認するものは何もありません。完全な流体はこの点で特別な場合です。実証は自明ではありませんが、この方法で決定できるからです[ 2 ] 。
一般化
完全な流体の近似を超えて、不完全な流体について話します。これは一定の粘度を持っているのが特徴で、動粘度と動粘度に分けられます。この粘度は、流体の異なる部分間の熱交換の原因となります。これらのさまざまな効果を考慮することは、不完全な流体の定義に相当します。これには、粘度に比例する 2 つの項が追加されるオイラー方程式の修正と、流体要素のエントロピーが次の条件によって変化するという事実による、流体に関連する熱力学を考慮した明示的な変更が伴います。時間。
