導入
数学では、線形代数のランク定理は、線形マップのカーネルのランクと次元を結び付けます。 EとF をフィールドK上の 2 つのベクトル空間とし、
$$ {f\in\mathcal{L}(E,F)} $$
直線的なアプリケーション。それで- $$ {{\rm rg } f+{\rm dim Ker }f={\rm dim }E\,} $$、
ここで、 rg f はfのイメージの次元を示します。
定理を証明するために、任意の基底についてそれを確認します
$$ {(u_s)_{s\in S}} $$
核および任意の塩基の$$ {(f(v_t))_{t\in T}} $$
画像の、 $$ {(u_s)_{s\in S}\cup(v_t)_{t\in T}} $$
Eのベースです。確かに、この族は生成的です (任意のベクトルxについて、 x t は画像のベースのf(x)の座標であり、 x s は画像の底部の座標であることに注意してください)。 $$ {x-\sum x_t v_t} $$
取得したカーネルの基礎で$$ {x=\sum x_s u_s+\sum x_t v_t} $$
）そして無料（仮説のもとでは$$ {\sum a_s u_s+\sum b_t v_t=0} $$
fによって画像を取得することで、 $$ {0+\sum b_tf(v_t)=0} $$
したがって、 f(v t )の独立性によりb t はゼロとなり、初期仮説は次のように単純化されます。 $$ {\sum a_su_s=0} $$
、そこから、 usの独立性により、 a sもゼロであると推定されます)。
準同型性の特殊なケース
f をベクトル空間E自体への線形マップとする。次のような関係があります。
- $$ {{\rm dim Im }f+{\rm dim Ker }f={\rm rg}(f)+{\rm dim Ker }f=\dim E\,} $$。
その他の定式化と一般化
この定理は、ベクトル空間の場合の代数学の第一同型定理の一種です。
より現代的な言葉で言えば、定理は次のように言えます。
- $$ {0 \rightarrow D \rightarrow E \rightarrow F \rightarrow 0} $$
はベクトル空間の短い正確なシーケンスである場合、
- dim( D ) + dim( F ) = dim( E )
ここで、 F はIm fの役割を果たし、 D はKer fの役割を果たします。
有限次元では、この定式化は次のように一般化できます。
- $$ {0 \rightarrow E_1 \rightarrow E_2 \rightarrow \cdots \rightarrow E_r \rightarrow 0 } $$
は有限次元ベクトル空間の正確なシーケンスである場合、
- $$ {\sum_{i=1}^r (-1)^i\dim(E_i) = 0.} $$
有限次元ベクトル空間のランク定理は、線形マップ インデックスの観点から定式化することもできます。線形アプリケーションのインデックス
$$ {f:E\rightarrow F} $$
、ここでEとF は有限次元ベクトル空間であり、次のように定義されます。- Index f = dim(Ker f ) − dim(Coker f )ここで、 Coker はfのコーカーネルを指定します。
直観的には、 Ker f は方程式f ( x ) = 0の独立解xの数であり、 dim(Coker f ) は方程式f ( x ) =を作るためにyの代わりに置く必要がある独立制約の数です。解決可能なy 。有限次元ベクトル空間のランク定理は次の命題と同等です。
- インデックスf = dim( E ) − dim( F )
f を詳しく調べる必要がなく、関係する空間から線形マップfのインデックスを簡単に決定できることがわかります。これは、より深い結果、つまり、特定の微分演算子のインデックスが関係する空間の幾何学構造から取得できると述べたアティヤ-シンガーのインデックス定理にも見られます。
vdm | ||
|---|---|---|
| ベクトル • スカラー • 線形結合• ベクトル空間 • 行列 | ||
| ベクトルファミリー | 生成族 • 自由族（線形独立） • 基底 • 不完全基底定理 • ランク •共線性 |  |
| 亜空間 | ベクトル部分空間 • 集合の和 • 直接和 • 補助部分空間 • 次元 • 余次元 • 線分 • 平面 •超平面 | |
| 形態論と関連する概念 | 線形応用 • カーネル • コーカーネル • カーネル補題 • 擬似逆行列 • 因数分解定理 •ランク定理• 線形方程式• 連立一次方程式 • ガウス・ジョルダン消去法 • 線形形式 • 双対空間 • 直交性 • 双対基底 • 内部同型線形 •固有値、固有ベクトルと固有空間 • スペクトル • プロジェクター • 対称性 • 対角化可能行列 • 対角化 •冪能同型性 | |
| 仕上がり寸法で | 有限次元ベクトル空間 • トレース • 行列式 • 固有多項式• 内部同型多項式 • ケイリー・ハミルトンの定理 • 内部同型の最小多項式• 相似不変量 • 内部同型縮約 • ジョルダン還元 • ダンフォード分解•フロベニウスの分解 | |
| 構造の強化 | ノルム • ドット積 • 二次形式 • 位相ベクトル空間 • 方向性 • 体上の代数 • リー代数 •微分複素数 | |
| 開発状況 | 行列理論• 群表現 • 関数解析 • 多線形代数 • 環上の係数 | |
