導入
数学では、代数の最小多項式は線形代数から派生した概念であり、2 つの理論の基礎となっています。
古典的なガロア理論には、有限体や有理数体などの初期体の有限拡張によって構築される特定の可換体が研究分野として含まれています。最小多項式は、そのような拡張を構築するための自然な方法を提供します。その根は、基礎概念であるガロア群の特性を解明するために使用されます。鍵定理 は、原始要素の定理と同様、最小多項式で表現されます。
代数整数論は代数整数を研究します。これらは最小多項式を使用して定義されます。その分析により、環の判別式、代数のノルム、トレース形式などの算術ツールの特性を説明することが可能になります。代数整数の最小多項式の特性は、理想的なクラス群の構造やディリクレの単位定理など、多くの結果を証明するために使用されます。比較的単純な使用例は、二次拡張に含まれる代数を研究するためのフレームワークである二次体の使用です。
線形代数には、準同型性の最小多項式と呼ばれる関連する概念があります。
意味
ここで、 K は本体を指定し、 L はKの拡張、つまりK を含む本体を指定します。文字C 、 R 、 Qはそれぞれ、複素体、実数体、および有理体を示します。
- l をLの要素とします。数lの最小多項式が存在する場合、それはl を根として認めるKの係数を持つ最低次数のユニタリ多項式です。
- Lの要素l は、最小多項式を持つ場合に限り、 Kに対して代数的であると言われます。
C がRの拡張とみなされる場合、集合Cの数 π + i は代数的です。実際、その最小多項式が存在し、次と等しくなります: X 2 -2πしたがって、π + i はQの最小多項式を認めません。一方、虚数単位のiと √2 はQに最小多項式を持ち、それぞれX 2 + 1 とX 2 – 2 に等しくなります。
ガロア理論
基本的な性質
ここで、 Kはフィールド、 L はKの拡張、 m はLの要素です。
K [ X ] のユークリッド構造により、最初のプロパティを確立できます。
- P [ X ]をK [の既約ユニタリ多項式とする。
実際、 P [ X ] は 1 とそれ自体 (1 つの乗法因数内) 以外の約数を認めないため、 P [ X ] によって生成されるイデアルは最大になります。このイデアルによるK [ X ] の商が体です。このフィールドでe がXのクラスを指定する場合、 e はP [ X ] のルートになります。 1, e , …, e n-1が商の底であるため、この拡張の次元はP [ X ] の次数に等しくなります。根にe を認めるK の係数を持つ多項式のセットはK [ X ] のイデアルであり、これにはP [ X ] が含まれます。 Kとして[この多項式は既約であるため、必然的にP [ X ] になります。
線形代数を使用すると、最小多項式でいくつかの特性を確立できます。 mがKの代数である、つまり、 Kに係数を持つ最小多項式があると仮定します。
- m を含む最小拡張の次元n は、最小多項式 M [ X ]の次数に等しくなります。
1, m , …, m n-1が最小拡張の基数であることに注意してください。
- m がK上の有限拡張Eの要素 (つまり、有限次元) の場合、 Kの係数を持つ最小多項式が認められます。
mx をxに関連付けるEからEへの写像fは準同型写像です。有限次元ベクトル空間上のあらゆる準同型性は、最小多項式、特にf を持ちます。内部同型写像fの最小多項式は、代数mの最小多項式となります。
- ｍ １およびｍ ２が２つの代数整数である場合、 ｍ １ ． m 2およびm 1 + m 2では、 Kの係数を持つ最小多項式が認められます。 m 1が可逆であれば、 m 1 -1も可逆です。
- E をKの有限拡張とし、 m がEの係数を持つ最小多項式を許容する場合、 Kの係数を持つ最小多項式も許容します。
最後の 2 つのプロパティについては、詳細な記事で説明します。
分離可能なエクステンション
多項式がその次数と同数の異なる根を許容する場合、その多項式は分離していると言われます。したがって、分割されます。最小多項式のすべての根を含む拡張が常に存在する場合、それは必ずしも分離可能ではありません。実際、複数のルートを持つ可能性があります。これは、物体が完全な場合、たとえばKが有限であるか特性がゼロである場合には当てはまりません。分離可能な拡張機能には重要な追加プロパティがあります。一般的なケースでは、次の命題が成り立ちます。
- E を Kの有限拡張とし、 e を Eの要素とすると、 K の係数を持つeの最小多項式 n の次数がEの次元を分割します。
このプロパティは、 「代数拡張」の記事で説明されています。たとえば、角度の三等分や立方体の複製が定規やコンパスでは一般に不可能であることを証明することができます(二次拡張タワーの記事を参照)。
拡張子が分離可能な場合、より強力なプロパティが true になります。
- E を分離可能な有限拡張子とすると、K上の最小多項式の次数がEの次元である要素 e が存在します。
この要素は拡張機能を生成します。この結果は原始要素定理として知られています。
ガロア群
ガロア群G は、 K を不変のままにしたLの自己同型の集合から形成されます。 σ がLのガロア群の要素であり、 P [ X ] がmの最小多項式である場合、 σ( m ) はP [ X ] の根でもあります。実際、ガロア群のメンバーの射特性は次のことを示しています。
Lがガロア拡張である場合、この特性はより強力になります。ガロア拡張は、 Lが有限次元の場合、分離可能な拡張であり、そのガロア群にはLの次元と同じ数の要素が含まれます。一般的な場合、ガロア拡張は分離可能な拡張であり、 Kを不変のままにするLの拡張の自己同型もL を全体的に不変のままにします (つまり、自己同型によるLのイメージはLに等しい)。
L がKベクトル空間としての次元dの有限ガロア拡張であると仮定し、σ 1 、σ 2 、…、σ d がGのさまざまな要素を表すものとします。次に、多項式P [ X ] はLに分割され、複数の根は含まれません。さらに、 P [ X ] の任意の根rについて、 σi ( m ) がrに等しいような 1 とdの間に少なくとも 1 つの整数i が存在します。より正確には:
- 次の多項式が真となるような整数 n が存在します。
値n は、群Gの次数とP [ X ] の次数との比に等しくなります。
実際、群の要素による合成は群の要素の順列であるため、右側の多項式はガロア群の下では不変です。ガロア群によって不変な要素はKだけです(このプロパティについては詳細な記事で説明します) 。右側の多項式は、係数がKでm がキャンセルされた多項式であり、したがって最小多項式の倍数になります。 H をK [ m ] を不変のままとするGの部分群とし、 Kとm を含むLの最小体を破断体と呼びます。 K をGとHの商の右側のクラスの集合とします。 Hが必ずしも区別されないため、一般にK が部分群ではない場合、 K はHの分割を形成し、 k r がクラスの代表である場合、 k rの左への翻訳は、次のクラスにおけるHの全単射になります。 k r 。 K r がKの各クラスの一意の代表を含むセットであり、 n がHの次数を示す場合、次のようになります。
次の等式が導き出されます。
Q n [X] はm をルートとして認めるので、 Q [についても同様です。ガロア群の要素による多項式Q [ X ] の合成は、 Kの各クラスの代表の別のセットの積を与えるため、この要素によって不変であることがわかります。 Q [ X ] はガロア群のすべての要素の下で不変であるため、 K [ X ] の多項式になります。 Q [ X ]のすべての根はP [ X ]の根であり、多項式Q [ X ] はP [を割ります。2 つの多項式は同じであると推定されます。