導入
数学、より正確には群理論では、単純群とは、それ自体の区別可能な部分群を認めない群です。有限単純群の分類は、それらを次の 素数の巡回群、交互群、リー型群、散発群の 4 つのカテゴリに分類できることを示しています。
リー型の最小の単純なグループは次数 168です。これはそのカテゴリの最初の要素です。同型までは、次数 168 の唯一の単純な群です。これは、体F 2上の次元3 のベクトル空間の線形群として、または特別な線形群 (行列式の自己同型が 1 に等しい) として見ることができます。物体Ｆ７上の次元２の空間の。これは、7次の方程式のガロア群、または次の多項式Pで定義される複素射影平面の曲線にクライン 4 次不変量を残す自己同型群とみなすこともできます。
このグループは、たとえば、パラメーターn が7 に等しい場合のフェルマーの最終定理の実証に介入します。
リニアグループ GL3(F2)
活用クラス
2 つの要素を持つ有限体F 2上の次元 3 のベクトル空間Eの線形群を調べてみましょう。このグループはGと表記されます。
φ がGの要素であり、( e 1 , e 2 , e 3 ) がEの基底である場合、φ( e 1 ) は 7 つの異なる値を取ることができ、それらはすべてゼロベクトルとは異なります。ベクトル φ( e 2 ) は 6 つの値のセット、つまり φ( e 1 ) と同一直線上にないすべてのベクトルから選択できます。最後に、φ( e 3 ) は、φ( e 1 ) と φ( e 2 ) によって生成される平面の外側の任意のベクトル、つまり 4 つの可能な値であり、次の命題が成立します。
- グループGL 3 (F 2 ) は次数 168 です。
このグループの活用クラスの表は次のとおりです。
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表の最初の列は、適切に選択された基準に基づくクラスの代表の行列を示します。 2 番目の列は代表の最小多項式、3 番目の列は要素の次数、4 番目の列はセントラライザーの次数、つまり代表と交換する要素のグループを示します。
共役クラスを決定する簡単な手法は、さまざまな最小多項式を研究することです。関連する内部同型性は単射的ではないため、それらのいずれもゼロ定数を持つことはできません。
固有の最小可能一次多項式X + 1 が存在し、これは恒等準同型写像に対応します。
最小多項式X 2 + 1 は ( X + 1) 2に等しくなります。関連する内部同型性は、恒等性と次数 2 の零同型性Nの合計であり、行列はジョルダン還元によって取得されます。セントラライザの計算は、 Nと可換な自己同型を決定することによって得られます。 N ( e 1 ) とN ( e 2 ) がゼロベクトルであり、 N ( e 3 ) が可換自己同型の行列であるe 1に等しいような基底 ( e 1 , e 2 , e 3 ) を選択すると、 Nの場合は次の形式になります。
自己同型性は 8 つあります。共役クラスの代表のセントラライザーの次数とそのクラスの基数を乗算した値は、グループの次数と等しいため(共役によるアクションを参照) 、クラスの基数は 21 に等しくなります。
X 2 + 2。そのような自己同型の痕跡はF 2にはなく、この最小多項式はEの自己同型では決して得られません。
最小多項式X 3 + 1 は、( X + 1)( X 2 + X + 1) に因数分解されます。関連する自己同型は 1 の固有値を持ち、関連する固有空間は次元 1 であり、 X 2 + X + 1 がこの次元 2 の空間に対する自己同型の制限の最小多項式となるような次元 2 の安定空間が存在します。 e 1 が固有値 1 の固有ベクトルである場合、 e 2 が次元 2 の安定空間の非ゼロ ベクトルである場合、およびe 3 が自己同型によるe 2のイメージである場合、示された行列が正しく見つかります。この要素を使用した可換自己同型は、次のような基底で記述されます。
aとb を同時にゼロにすることはできないことに気付き、これにより 3 つの要素を持つセントラライザーが作成されます。
最小多項式X 3 + X + 1 およびX 3 + X 2 + 1 は同じ方法で処理されます。私たちは次のことに気づきました。
共役の 2 つのクラスには 7 次の要素が含まれていると推定します。代表的な φ のセントラライザーには、少なくとも 7 つの要素 (φ の累乗) が含まれています。これは、I、φ、φ 2によって生成される基数 8 のベクトル空間にもあります。したがって、セントラライザーには正確に 7 つの要素が含まれます。
最後に、最小多項式X 3 + X 2 + X + 1は等価性を検証します。ジョルダン分解は提案された行列形式を与え、最小多項式も記述されるため、自己同型性が恒等式と次数 3 の零同型の和であることを示します ( X + 1) 3 .このクラスの要素を持つ可換自己同型は I + aN + bN 2と書かれ、セントラライザーが次数 4 であることを示します。
キャラクター
活用クラスを決定すると、グループの文字テーブルを確立することができます。共役には 6 つのクラスがあるため、複素ベクトル空間には最大 1 つの同型写像まで、正確に 6 つの既約表現が存在します。クラスは、要素の順序に従って名前が付けられ、クラスの次元に従って表現が付けられます。次元 3 の 2 つの表現と、次数 7 の要素で構成される 2 つのクラスがあるため、これらのクラスとこれらの表現には文字でインデックスが付けられます。次の表が得られます。
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- 次元 1 の表現:
まず、複数の要素からなる巡回群には群の全射射が存在しないことに注目しましょう。実際、射が全射であるためには、到着群は必ず 168 を分割する次数を持っています。そのような射が存在する場合、次数 2、3、または 7 の巡回群に全射射が必然的に存在することになります。次数 2 の巡回群は、クラスC 3 、 C 7aおよびC 7bで、つまり群Gの要素の半分以上でゼロであり、そのような射は必然的に画像 l 中立要素を持ちます。次数 3 の巡回群の射は、クラスC 4 、 C 7a 、およびC 7bでは必ずゼロになるため、ゼロになります。同じ推論は、次数 7 のグループ内の値を持つ場合もゼロであることを示します。次元 1 の文字はいずれも巡回群の像射であるため、次元 1 の唯一の文字は文字トリビアルです。
- 次元 2 の表現:
次元 2 の既約表現はありません。これを行うには、 C 7aの要素のイメージ φ のトレースを考慮するだけで十分です。自己同型 φ は、その最小多項式がX 7 – 1 の約数であり、多重根を持たないため、対角化可能です。このことから、2 つの固有値 λ と μ (どちらも 1 の 7 乗根) が許容されることが推測されます。 φ 2がC 7aにもあることに気づきます。これは、λ + μ が λ 2 + μ 2に等しいことを示しています。この等式により、指数 7 の円分多項式とは異なり、1 の 7 乗根を持つ 6 以下の多項式が得られます。これから、λ と μ は両方とも 1 に等しいと推測します。要素C 7aまたはC 7bのイメージのトレースは、必然的に 2 に等しくなります。この表現に関連付けられた文字のノルムを計算すると、厳密に より大きい結果が得られます。これは、表現が既約ではないことを示しています。
- さまざまな既約表現の次元:
次元 1 の一意の表現は存在しますが、次元 2 には存在しません。さらに、 d i が既約表現のすべての次元を表す場合、次の等式が成り立ちます(正規表現を参照) 。
168 を、すべて 4 とは異なり、一意の平方が 1 に等しい完全平方和に分解する方法は 1 つだけです。したがって、既約表現の次元は 1、3、3、6、7、8 になります。これにより、次のことが可能になります。表の最初の行と最初の列を埋めます。
- 次元 3 の表現:
次元 3 の既約表現の文字を決定しましょう。上記と同じ推論は、φ がC 7aの要素の像自己同型である場合、それは固有値として単位 λ、λ aの 3 つの原始 7 乗根を持つことを示します。および λ b 。ここで、 aとb は1 ～ 6 の 2 つの整数であり、 aはbより小さくなります。 φ のトレースは φ 2のトレースと等しいため、値 λ + λ a + λ b は値 λ 2 + λ 2a + λ 2bに等しく、 a は2 に等しく、 b は4 に等しくなります。合計が次のことに気づきます。 λ + λ 2 + λ 4と λ 3 + λ 5 + λ 6は -1 に等しく、その積は 2 になります。クラスC 7aの文字は 1/2 に等しいと推測します。(-1 ± i √7)。 χ 1と χ 3aのスカラー積は0 に等しい。さらに、式 i√7 はC 7aとC 7b以外のクラスの文字には見つからないため、文字が 1/2 に等しい場合は次のように推定されます。 C 7aの .(-1 + i√7) は、必然的に 1/2.(-1 – i√7) C 7bとなり、その逆も同様です。
同様の推論は、 C 3の要素の画像自己同型の固有値が 3 つの異なる固有値と 3 つの 3 番目の 1 根すべてを持っていることを示します。これは、3 つの根の合計が次のとおりであるため、このクラスでは文字がゼロであることを示しています。はゼロです。
C 2の要素のイメージ自己同型の場合、固有値は 1 または -1 のいずれかであり、トレースは絶対値で 1 または 3 に等しくなります。文字ノルムは 1 であるため、絶対値で 3 は取り得る値ではありません。 C 4の場合、同様の推論により、トレースは絶対値で 1 に等しいことがわかります。 χ 3aとχ 1の直交性により、欠落符号を決定することが可能になります。この推論は同様にχ 3bに当てはまります。
- その他の表現:
前述の推論は、既約表現の次元が等しい場合、 C 7aの要素のイメージ自己同型のトレースは、-1、-1 + i√7、または -1 – i√7 の 3 つの値のいずれかであることを示しています。文字のノルムが厳密に 1 より大きいため、最後の 2 つの値は不可能です。χ 1 、χ 3aおよび χ 6と χ 6のスカラー積を計算すると、結論が得られます。
7 次元表現の場合、決定されるべき残りの 6 つの係数は、決定される文字と前の文字の間のスカラー積を使用して計算されます。ノルム 1 の解は 1 つだけです。最後に、 正規表現の性質と最初の 5 文字の知識により、χ 8の計算が可能になります。
シンプルさ
- GL 3 ( F 2 ) グループは単純です。
これを確認する簡単な方法は、文字テーブルを調べることです。些細な文字を除いて、それらはすべて忠実な、つまり単射表現に関連付けられています。これを検証するには、アイデンティティ トレースが中立要素の画像に対してのみ取得されることに注意してください。グループに自明でない区別されたサブグループがある場合、 Gの非単射的かつ自明でない射が存在します。到着群の射と表現は、非単射的かつ非自明な表現を提供します。
直接デモンストレーションもございます
H をGの自明でない区別された部分群とする。 H に次数 7 の要素も次数 3 の要素も含まれていない場合。その次数は 12 を割る 168 の約数、つまり 8 です。ここで、 H には必ず次数 2 の要素が含まれており、その場合、少なくとも次数 21 の要素が含まれます。注文2、それは不可能です。
H に次数 3 の要素が含まれる場合、それらは同じ共役クラスにあるため、H にはそれらすべてが含まれます。中立元素を追加すると、グループ内に少なくとも 57 個の元素が見つかります。 57 より大きい 168 の約数は 84 だけです。これは、 H に次数 2 の要素と次数 7 の要素が含まれていることを示します。これは、次数 2 の要素のクラスと次数 7 の要素のクラスがグループHに含まれていることを示します。 。 Hの次数は厳密に 84 より大きく、168 のうち 84 より大きい唯一の約数は 168 であるため、 HはグループGです。
H に次数 7 の要素が含まれる場合、 H には少なくとも 25 の要素が含まれます。 168 を割る 25 より大きい整数は、168、84、56、42、28 です。これらの約数はすべて 2 の倍数であり、 H には次数 2 の要素のクラス、つまり少なくとも 46 個の要素が含まれていることを示します。残る候補次数は 168、84、および 56 の 3 つだけです。最大 2 群は次数 8 であり、Sylow の定理は、 Gに含まれるすべての最大 2 群が同型であり、次数 4 の要素を含むことを示します。次数の群56 には必然的にそのようなグループが含まれ、したがって次数 4 の要素が含まれます。これは、次数 4 の要素のクラスがHにあり、 H には少なくとも 88 個の要素が含まれるため、すべてのG が含まれることを示します。残るのは基数 84 だけであり、必然的に次数 3 の要素が含まれるため、グループ全体が含まれます。