導入
| 逆ガンマ | |
|---|---|
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| 設定 | α > 0形状パラメータ (実数) β > 0スケールパラメータ(実数) |
| サポート | $$ {x\in(0;\infty)\!} $$ |
| 確率密度(質量関数) | $$ {\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{-\alpha – 1} \exp \left(\frac{-\beta}{x}\right)} $$ |
| 分布関数 | $$ {\frac{\Gamma(\alpha,\beta/x)}{\Gamma(\alpha)} \!} $$ |
| 希望 | $$ {\frac{\beta}{\alpha-1}\!} $$ α > 1の場合 |
| ファッション | $$ {\frac{\beta}{\alpha+1}\!} $$ |
| 分散 | $$ {\frac{\beta^2}{(\alpha-1)^2(\alpha-2)}\!} $$ α > 2の場合 |
| 非対称性（統計） | $$ {\frac{4\sqrt{\alpha-2}}{\alpha-3}\!} $$ α>3の場合 |
| 尖度 (標準化されていない) | $$ {\frac{30\,\alpha-66}{(\alpha-3)(\alpha-4)}\!} $$ α > 4の場合 |
| エントロピ | $$ {\alpha\!+\!\ln(\beta\Gamma(\alpha))\!-\!(1\!+\!\alpha)\psi(\alpha)} $$ |
| モーメント発生機能 | $$ {\frac{2\left(-\beta t\right)^{\!\!\frac{\alpha}{2}}}{\Gamma(\alpha)}K_{\alpha}\left(\sqrt{-4\beta t}\right)} $$ |
| 特徴的な機能 | $$ {\frac{2\left(-i\beta t\right)^{\!\!\frac{\alpha}{2}}}{\Gamma(\alpha)}K_{\alpha}\left(\sqrt{-4i\beta t}\right)} $$ |
『確率理論と統計』では、逆ガンマ分布は、正の実数の半直線上の連続する 2 パラメーターの確率則のファミリーです。これは、ガンマ分布に従って分布された確率変数の逆関数です。
特性評価
確率密度
逆ガンマ則の確率密度は、サポートx > 0で次のように定義されます。
- $$ { f(x; \alpha, \beta) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} (1/x)^{\alpha + 1}\exp\left(-\beta/x\right) } $$
ここで、 αは形状パラメータ、 β は強度パラメータ、つまりスケール パラメータの逆数です。
分布関数
分布関数は正規化されたガンマ関数です。
- $$ {F(x; \alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha,\beta/x)}{\Gamma(\alpha)} \!} $$
ここで、分子は不完全なガンマ関数、分母はガンマ関数です。
ガンマの法則から得る
ガンマ則の密度は
- $$ { f(x) = x^{k-1} \frac{e^{-x/\theta}}{\theta^k \, \Gamma(k)}} $$
そして変換を定義します
$$ {Y = g(X) = \frac{1}{X}} $$
。変換の密度は次のようになります。 - $$ { f_Y(y) = f_X \left( g^{-1}(y) \right) \left| \frac{d}{dy} g^{-1}(y) \right| } $$
- $$ { = \frac{1}{\theta^k \Gamma(k)} \left( \frac{1}{y} \right)^{k-1} \exp \left( \frac{-1}{\theta y} \right) \frac{1}{y^2} } $$
- $$ { = \frac{1}{\theta^k \Gamma(k)} \left( \frac{1}{y} \right)^{k+1} \exp \left( \frac{-1}{\theta y} \right) } $$
- $$ { = \frac{1}{\theta^k \Gamma(k)} y^{-k-1} \exp \left( \frac{-1}{\theta y} \right) } $$
kをα 、 θ − 1をβ 、そして最後にy をxに置き換えると、上記の密度が得られます。
- $$ { f(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{-\alpha-1} \exp \left( \frac{-\beta}{x} \right) } $$
vdm | |
|---|---|
| 有限のサポートを持つ個別法則 | ベルヌーイの法則•離散一様法則•二項法則•超幾何法則•ベンフォードの法則 |
| 可算サポートを備えた離散法則 | 幾何学法則•ポアソン法則•負の二項法則• 対数法則 |
| コンパクトなサポートによる継続的な法則 | 連続一様則・三角則・ベータ則 |
| 半無限のサポートを備えた継続的な法則 | 指数法則• ガンマの法則 • χ² の法則• フィッシャーの法則 • ワイブルの法則 • レイリーの法則 • ライスの法則• エルランの法則 • レヴィの法則 •逆ガンマの法則• 対数正規の法則 |
| 無限のサポートによる継続的な法則 | 正規法則•非対称正規法則•コーシーの法則•ラプラスの法則•ロジスティック法則 •スチューデント法則• 安定法則 • ガンベルの法則 |
関連ディストリビューション
- X ˜Inv-Gamma(α,β)の場合、 $$ {\alpha = \frac{\nu}{2}, \beta = \frac{1}{2}} $$それで$$ {X \sim \mbox{Inv-chi-square}(\nu)\,} $$逆カイ二乗 (χ²) 法則です。
- もし$$ {X \sim \mbox{Inv-Gamma}(k, \theta)\,} $$、 それで$$ {1/X \sim \mbox{Gamma}(k, 1/\theta)\,} $$;
- 逆ガンマの法則を多変量に一般化したものが逆ウィシャート分布です。