レイリーの法則 – 定義

導入

レイリー
設定
サポート	$$ {x\in [0;\infty)} $$
確率密度(質量関数)	$$ {\frac{x \exp\left(\frac{-x^2}{2\sigma^2}\right)}{\sigma^2}} $$
分布関数	$$ {1-\exp\left(\frac{-x^2}{2\sigma^2}\right)} $$
希望	$$ {\sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}} $$
中央値（中央）	$$ {\sigma\sqrt{\ln(4)}\,} $$
ファッション	$$ {\sigma\,} $$
分散	$$ {\frac{4 – \pi}{2} \sigma^2} $$
非対称性（統計）	$$ {\frac{2\sqrt{\pi}(\pi – 3)}{(4-\pi)^{3/2}}} $$
尖度 (標準化されていない)	$$ {-\frac{6\pi^2 – 24\pi +16}{(4-\pi)^2}} $$
エントロピ	$$ {1+\ln\left(\frac{\sigma}{\sqrt{2}}\right)+\frac{\gamma}{2}} $$
モーメント発生機能	$$ {1+\sigma t\,e^{\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}} \left(\textrm{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!+\!1\right)} $$
特徴的な機能	$$ {1\!-\!\sigma te^{-\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\!\left(\textrm{erfi}\!\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!-\!i\right)} $$

確率と統計において、レイリーの法則は密度確率法則です。これは、座標が独立しており、中心があり、分散が同じである 2 次元ガウスベクトルのノルムとして表示されます。この確率の法則はレイリー卿にちなんで名付けられました。

通常、距離は

平面内でnステップの対称ランダム ウォークを実行した後、粒子がその開始点から位置する位置は、パラメーターを伴うレイリー法則にほぼ従うまったく異なる分野では、狭帯域ガウス過程のエンベロープを記述するためによく使用されます。

レイリーの法則密度は

$$ {f(x;\sigma) = \frac{x}{\sigma^2} \exp\left(\frac{-x^2}{2\sigma^2}\right)} $$

のために

プロパティ

瞬間は次のように与えられます。

$$ {m_k=\sigma^k2^{k/2}\,\Gamma(1+k/2)\,} $$

ここで、 Γ( z ) はガンマ関数です。

レイリー確率変数Xの期待値と分散は次のとおりです。

$$ {\mathbb{E}[X] = \sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}\,} $$

そして

$$ {\textrm{Var}(X) = \frac{4 – \pi}{2} \sigma^2\,.} $$

歪度は次のとおりです。

$$ {\gamma_1=\frac{2\sqrt{\pi}(\pi – 3)}{(4-\pi)^{3/2}}.} $$

尖度は次のとおりです。

$$ {\gamma_2=-\frac{6\pi^2 – 24\pi +16}{(4-\pi)^2}.} $$

特徴的な機能は次のとおりです。

$$ {\varphi(t):1\!-\!\sigma te^{-\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\!\left(\textrm{erfi}\!\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!-\!i\right)} $$

または

は複素誤差関数です。ラプラス変換は、

$$ {M(t)=\,1+\sigma t\,e^{\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}} \left(\textrm{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!+\!1\right),} $$

または

は誤差関数です。

エントロピ

エントロピーは

$$ { H = 1 + \ln\left(\frac{\sigma}{\sqrt{2}}\right) + \frac{\gamma}{2} } $$

ここで、 γ はオイラー・マスケローニ定数です。

レイリー変数を生成する

区間 (0, 1) 上の均一変数Uが与えられると、変数

$$ {X=\sigma\sqrt{-2 \ln(U)}\,} $$

パラメータσ を使用してレイリーの法則に従います。これは、分布関数の形式、特に逆数定理、および1-U がUと同じ法則を持つという事実から来ています。

パラメータ推定

N 個の独立したレイリー変数とパラメーターσに関する同じ法則を仮定すると、 σの 最尤推定量は次のようになります。

$$ {\hat{\sigma}=\sqrt{\frac{1}{2N}\sum_{i=1}^N X_i^2}.} $$

特定の離散分布とのリンク

飛行機内でのランダムウォーク

注意しましょう

n 回のランダムなステップ後の平面内のランダム ウォーカーの位置とその開始点の間の距離: 法則はレイリーの法則に収束します。これは、距離nをカバーすることによって、ウォーカーが開始点から実際に離れるのは次のとおりであることを意味します。 近似ではなく、レイリーの法則への収束により、この近似を指定することが可能になります。

ランダムなケイリー木の 2 つのランダムな点間の距離

Joyal の全単射を使用すると、距離の法則が成り立つことを示すことができます。

ランダムなケイリー木の 2 つのランダムな点の間が与えられます。 による

$$ {\mathbb{P}\left(D_n=k\right)\ = \ \frac{(k+1)\times(n)_{\downarrow k+1}}{n^{k+2}}.} $$

たとえば、シェッフェの補題を使用して、次のことを示すことができます。

法則はレイリーの法則に収束します。これは、サイズnのツリーの 2 点間の「典型的な」距離が次のオーダーであることを示します。

アプリケーションの循環ポイント

Joyal の全単射のおかげで、その数は

アプリケーションの循環ポイントのので 、と同じ法則に従います。 それで、 法則はレイリーの法則に収束します。

誕生日の問題

この慎重な法則は、有名な誕生日問題などの割り当て問題 (ボールと壺) にも現れます。等しい確率で一連の壺にボールを順番に割り当てると、これは確率論的な世界を考慮することになります。

ランク空ではない壺に割り当てられる最初のボールは、以下と同じ法則に従います。 それで、 法則はレイリーの法則に収束します。

n=365 、つまり365 個のボックスの場合、

は、グループの少なくとも 2 人のメンバーが同じ誕生日を持つ可能性が高くなるグループのサイズとして解釈されます (サイズが徐々に大きくなるグループを想像する必要があります)。 誕生日はすべて異なりますが、およそ

$$ {e^{-\alpha^2/2}\ =\ \int_{\alpha}^{+\infty}\,f(x;1)\,dx,} $$

したがって、約 1 人のグループの場合は 1/2 の価値があります。

(つまり 22.5) 人、または約 1/10 人のグループの場合 （つまり41人）この確率が 1/2 (それぞれ 1/10) より小さくなるように最初の整数を正確に計算すると、同じ結果、23 (それぞれ 41) が得られます。

vdm ​ ​ 確率の法則
有限のサポートを持つ個別法則	ベルヌーイの法則•離散一様法則•二項法則•超幾何法則•ベンフォードの法則
可算サポートを備えた離散法則	幾何学法則•ポアソン法則•負の二項法則• 対数法則
コンパクトなサポートによる継続的な法則	連続一様則・三角則・ベータ則
半無限のサポートを備えた継続的な法則	指数法則• ガンマの法則 • χ² の法則• フィッシャーの法則 • ワイブルの法則 • レイリーの法則 • ライスの法則 • エルランの法則 • レヴィの法則 •逆ガンマの法則• 対数正規の法則
無限のサポートによる継続的な法則	正規法則•非対称正規法則•コーシーの法則•ラプラスの法則•ロジスティック法則 •スチューデント法則• 安定法則 • ガンベルの法則