幾何学では、曲線または曲線という言葉は、通常の平面および空間の特定の部分集合を指します。たとえば、線分、線分、折れ線、円は曲線です。
曲線の一般的な概念は、パラメータ化された円弧、レベル ライン、次元1 のサブバリエーションなど、かなり似た定義を持ついくつかの数学的オブジェクトに分類されます。概略的には、これらのさまざまな導入モードは、曲線の一般的な概念に対する補完的な洞察を提供します。
- 曲線は、決められた法則に従って移動する点によって記述できます。時間パラメータの値のデータにより、曲線上の点を特定することが可能になります。直感的には、これは曲線が次元1 のオブジェクトであることを意味します。
- 曲線は、十分な数の条件を満たしながらも 1 次元の性質を与える平面または空間の領域として見ることができます。
したがって、平面曲線は、パラメーター (パラメトリック方程式) に従って横座標と縦座標を記述する法則のデータによってデカルト座標系で表すことができます。
- $$ {\begin{cases}x&=\xi(t)\\ y &=\eta(t)\end{cases}} $$、
またはデカルト方程式のデータによって、または暗黙的に次のようになります。
曲線に関連する不変量への最初のアプローチ
微分幾何学の目的は、数学的オブジェクトを曲線に関連付けて、動きを記述できるようにすることです。最も興味深いのは、曲線の移動方法とは無関係に、曲線に付加されたものです。特に、曲線の円弧の長さ、曲線の接線、曲率の概念を定義します。
曲線の接線
まず、曲線の 2 つの点MとN の間の割線を定義します。これは、それらを接続する線です。 Mにおける接線は、点N がMに向かう傾向があるときの割線の限界位置として定義できます。
Mにおける接線は、 M付近の曲線に「可能な限り近い」線でもあります。これは、曲線の接線という幾何学的な概念と関数の導関数、または関数の次数 1 に限定された展開との間の近接性を説明します。
曲線は、少なくとも点M付近では、接線の片側のみに留まることがよくあります。ただし、変曲点と呼ばれる特定の点では、接線と交差します。
接触円と曲率
また、点Mにおける曲線の接触円を、 Mの近傍でMに「可能な限り近い」円として定義することもできます。この円は接線よりも曲線をよく包含していることがわかり、したがってオシュレーターという言葉が生まれました (その語源は「小さな口」です)。しかし、この言葉に正確な意味を与えるには、接触という概念を導入する必要があります。
接触円の中心は曲率中心と呼ばれ、その半径は曲率半径と呼ばれます。曲率は、定義上、曲率半径の逆数です。カーブがMで急に曲がるので、 M点の曲率はさらに強くなります。
左カーブのねじれと一般化
接線は、一次での曲線の動作をよく表しています。曲線の全体的な傾向は、その接線の方向に進むことです。接触円と曲率は二次的な動作を与え、接線の一方の側または他方の側を向く傾向を与えることによって以前の情報を明確にします。
3 次元空間の曲線については、さらに進化することが可能です。次数 2 の曲線は、接触円を含む平面 (接触面と呼ばれる) に留まりながら回転しながら進む傾向があります。次数 3 の補正が追加されます。これは、接触面から逸脱する傾向に対応します。対応する不変量は曲線のねじれです。したがって、このねじれによって曲線が非平面になります。
3 次元を超える空間の曲線、および曲率とねじれを一般化し、ますます大きな近似次数まで曲線を記述する不変量のファミリーを使用してさらに続行することも可能です。最後に、これらすべての計算を実行するには、関数の規則性に関する特定の数の条件の検証と、例外的な動作を持つ点の除外が必要であることに注意してください。
平面曲線を定義する方法
平面曲線の導入には、いくつかの伝統的なモードがあります。ここでは、正規直交参照フレームを備えた幾何学平面に自分自身を配置します。
パラメトリック方程式
パラメトリック方程式によって定義される曲線は、点M ( x , y )の軌跡です。ここで、 xとy は、次の部分の値を取るパラメーターtの関数です。
- $$ {\overrightarrow{OM}=x(t) \overrightarrow{i} + y(t) \overrightarrow{j}} $$。
導出されたベクトルが
- $$ {\overrightarrow{OM}’= \frac{d \overrightarrow{OM}}{d t} = x'(t) \overrightarrow{i} + y'(t) \overrightarrow{j}} $$
がゼロでない場合、このベクトルによって方向付けられた曲線への接線が存在します。
古典的な運動学の解釈では、パラメーターt を時間と見なし、導出されたベクトルが速度ベクトルになります。
したがって区別するのが適切である
注: 関数y=f(x)のグラフィック表現は、パラメータ化された曲線の特定のケースとして見ることができます。横座標自体をパラメータ ( t=x ) として取ることにより、 x(t)=t , yが得られます。 (t)=f(t) 。
極方程式
このタイプの曲線では、極座標を使用します。次に曲線は関数によって定義されます
私たちは簡単に方程式のパラメータ化された曲線に還元することができます。
デカルト方程式
xとyの関数fが与えられると、デカルト方程式曲線f(x,y)=C を、座標がこの方程式を満たす点の集合M(x,y)と呼びます。
関数fのレベル ラインCのこのセットについても説明します。関数f が高度を表す場合、地理地図の等高線というよく知られた概念がわかります。
たとえば、関数のレベル ラインR>0
陰関数定理を使用すると、指定された点におけるこの曲線の接線の方程式を見つけることができます。正確には、曲線に属する点 M=(x,y) は、この点でfの勾配がゼロでない場合に規則的であると言われます。この場合、接線は勾配ベクトルに直交します。
左カーブの定義
今回は、正規直交参照フレームを備えた通常の 3 次元空間に自分自身を置きます。
パラメトリック方程式
今回のパラメトリック方程式は次の形式になります。
- $$ {\vec{OM}=x(t) \vec{i} + y(t) \vec{j} + z(t)\vec{k}} $$。
正接を計算する原理は同じです。導関数ベクトルが次の点で決まります。
- $$ {\vec{OM}’= \frac{d \vec{OM}}{d t} = x'(t) \vec{i} + y'(t) \vec{j}+ z'(t)\vec{k}} $$
がゼロでない場合、このベクトルによって方向付けられた曲線への接線が存在します。
デカルト方程式
F(x,y,z)=Cという形式の方程式は、関数Fのレベル表面と呼ばれるセットを定義します。特定の条件下では、2 つのレベル サーフェスの交差により曲線が定義され、その接線の計算が可能になります。
交差点の条件の詳細は次のとおりです。
- $$ {\begin{cases}F(x,y,z)=C\\ G(x,y,z)=D\end{cases}} $$。
関数FとG が微分可能で、交点MにおけるFとGの勾配ベクトルが独立したベクトルである場合、交点曲線はベクトルによって方向付けられた接線を持ちます。
- $$ {\vec{T}=\vec{\nabla} F \wedge \vec{\nabla} G} $$。
円錐曲線では、サーフェスの交差によって曲線を導入する非常に古典的な例があります。これらは、回転円錐と平面の交差によって得られる曲線です。
トポロジーに関する考慮事項
曲線を定義する関数の微分可能性の要件を緩和すると、状況が大幅に複雑になる可能性があります。
驚くべき例: ペアノ曲線
1890 年、ペアノは奇妙な特性を持つ「曲線」を発見しました。
- これは、平面内で [0,1] を連続的に適用することによって定義されます。
- その軌跡は、正方形[0,1]x[0,1] の点の集合です。
この図は、今日ではフラクタルのカテゴリーに分類されているこの曲線の構築の最初の段階を表しています。
この例や、コッホ雪片やドラゴン曲線などのフラクタル曲線の他の構造を考慮すると、次元の概念は関連性を失っているように見えます。実際、連続アプリケーションによるセグメント [0,1] のイメージのハウスドルフ次元が厳密に 1 より大きいか、ルベーグ測度が0 と異なる可能性さえあります。
ジョーダンの定理
連続曲線という非常に一般的なフレームワークにおいてさえ、明らかに基本的なステートメントを含むトポロジー結果は検証されたままです。つまり、ループが内部と外部を区切ります。
もっと曖昧な言葉で言うと、カーブが続く場合
この定理は、いくつかの不完全な試みの後、遅く（1905 年にオズワルド ヴェブレンによって）証明されました。ペアノ曲線は、作成の各段階で得られる関数は単純ですが、単純な曲線ではないことに注意してください。
ディップ、ノット
インターバルにしましょう。アプリ
いくつかの非等価な方法で円を 3 次元空間に埋め込むことができます。可能な埋め込みの分類は、結び目理論を構成します。