導入
数学では、対角化可能な行列は、対角行列に似た正方行列です。この特性は固有ベクトルの基底の存在と同等であり、ベクトル空間の対角化可能な準同型性を同様の方法で定義することが可能になります。
行列が対角化可能であるという事実は、固有値が求められるフィールドに依存します。これは、最小多項式が単純な根で分割されるという事実による特徴付けによって確認されます。
この特徴付けにより、特に、係数の本体が 2 とは異なる特性を持つ場合のインボリューションだけでなく、射影器が常に対角化できることを示すことができます。より一般的には、有限次数の準同型写像と行列は、次数の本体上で対角化できます。コンプレックス。逆に、ゼロ以外のnilpotent endomorphism は対角化できません。
対称実行列は、直交行列によって対角化できます。より一般的には、エルミート行列、反エルミート行列、ユニタリ行列などの正規行列は、ユニタリ行列を使用して対角化でき、これがスペクトル定理につながります。
対角化は、対角化可能な行列を対角行列に変換する通過行列の効果的な決定、または準同型性による安定な線の直接和へのベクトル空間の分解です。
定義
マトリックスアプローチ
フィールドkに係数を持つ正方行列M は、次の関係を満たす可逆行列Pとkに係数を持つ対角行列Dが存在する場合、 kに対して対角化可能であると言われます。
- $$ {M = P D P^{-1}\,.} $$
この場合、行列Pの各列ベクトルYは行列Mの固有ベクトルです。つまり、 M Y = λ YとなるようにDの対角線上にスカラーλ が存在します。
逆に、行列が列ベクトル空間の基礎を形成する固有ベクトルのファミリーを許容する場合、この行列は対角化可能です。これらのベクトルの並置によって形成される可逆行列を構築するだけで十分であり、対角行列はその後、関連する固有値によって定義されます。
準同型性
固有ベクトルの基底が存在する場合、ベクトル空間の準同型性は対角化可能であると言われます。これは、ベクトル空間が準同型性によって安定線の直接和に分解できること、言い換えれば、ベクトル空間が準同型性の固有部分空間の直接和であることを意味します。
有限次元では、この定義は、内部同型性がこの基底の対角行列で表されることを意味します。したがって、内部同型性の行列表現は基底の変更によって対角化できる行列になります。
正規直交基底で
対称行列
任意の対称実行列は直交行列によって対角化できます。つまり、 n次元ユークリッド空間の関連する準同型性は正規直交基底で対角化できます。逆に、 Uが直交行列、 D が実数対角行列の場合、実数行列の積U D U − 1は対称行列になります。
対称行列Aが正の場合、つまりその固有値がすべて正の場合、二乗がAである一意の正の対称行列が存在します。このAの平方根は実際には対角化可能であり、必然的にAの平方根の固有値を持つ同じ固有空間を持ちます。
正規行列
同様に、エルミート複素行列はユニタリ行列によって対角化して実対角行列にすることができます。より一般的には、ユニタリ行列によって対角化できる複素行列は正規行列、つまり随伴行列と可換な行列です。この定義には、エルミート行列、反エルミート行列、ユニタリ行列、特にそれらの実バージョン (対称、反対称、直交) が含まれます。ただし、これらの最後の 2 つの行列族は、一般に実数体での対角化を許可しません。
スペクトル定理への応用
スペクトル定理は、有限次元の実数または複素数ベクトル空間上の 2 つの対称双線形形式が与えられた場合、一方が正定値である場合、他方に対して直交する正規直交基底が存在すると述べています。
言い換えれば、2 つの形式が対角行列で表される基礎が存在し、最初の形式は単位行列Iです。 2 つの形式がそれぞれ任意の基底の行列AとB 、および定理によって提供される特定の基底の行列IとB’を持つ場合、新しい行列は古い行列と似ていませんが、通過行列を介して合同になります。 P (可逆) とその随伴行列P *:
- $$ {I=P^*\ A\ P,\quad B’=P^*\ B\ P} $$。
定理を実証するには、最初の形式で定義されたユークリッド空間またはエルミート空間上で、2 番目の形式に標準的に関連付けられた 自己随伴同型写像を考慮するだけで十分です。これに特有の (最初の形式に関して) 正規直交基底が存在します。準同型性 (したがって、 2 番目の形式では直交します)。