幾何学では、測地線は、距離を測定する手段、つまり距離を測定した後、空間内の 2 点間の最短経路、または経路が複数ある場合はそのうちの 1 つを指定します。距離の概念を変えると、空間の測地線の外観はまったく異なるものになる可能性があります。
導入
もともと、測地線という用語は、地球の大きさと形状を測定する科学である測地学(ギリシャ語の「地球」という意味の gaia と「分かち合う、分割する」という daiein に由来) に由来しています。したがって、測地線は、測量士向けに、空間 (地理的な意味) の 2 点間の最短経路を指定します。
数学への置き換えにより、測地線は「直線」の概念を「曲線空間」に一般化したものになります。したがって、測地線の定義は「曲面空間」のタイプに依存し、以前の受け入れは、この空間に計量がある場合に局所的にのみ当てはまります。
曲線空間内の 2 点間の最短経路は、曲線の長さの方程式を書き、その値の最小値を見つけることによって取得できます。同様に、別の値、つまり曲線のエネルギーを定義し、それを最小化しようとすることができ、その結果、測地線についても同じ方程式が得られます。直観的には、2 点間に張られた弾性バンドを想像することによって、この2 番目の定式化を理解することができます。弾性バンドが測地線に従っている場合、最小の長さ、つまり最小のエネルギーを持つことになります。
測地線は、リーマン幾何学、より一般的には計量幾何学の研究でよく出てきます。物理学では、測地線は自由粒子の動き、つまり、粒子が外部の力(一般相対性理論の枠組みにおける重力以外) を受けていないときの動きを記述します。特に、落石がたどる経路、周回衛星、または惑星軌道の形状はすべて、一般相対性理論の測地線によって記述されます。一方、ロケットで月に向かう宇宙飛行士の軌道は、機械のエンジンによって推力が発揮されるため、測地線ではありません。
例
ユークリッド数学
測地線の最もよく知られた例は、ユークリッド幾何学の直線です。球面上では、測地線は大円になります。球上の点Aと点Bの間の最短経路は、 AとB を通過する大円の最小部分によって与えられます。 AとB が反対の端にある場合 (北極と南極のように)、最短経路は無限に存在します。
地理
測地マーカー (測地系) は、地表面に近い場所を (緯度と経度などによって) 特定する方法です。これは、ユークリッド座標系の 3次元座標系 (星座早見盤には 2 つしかありません) です。
地球を球に例えると、測地線は「大円弧」または「正距円弧」とも呼ばれる円弧です。これは現実の近似にすぎず、地球の形状は公転楕円体の形状に近いものです。
物理的な
物理学では、測地線はこの地球上の応用を一般化したものです。物質的な障害物を周回させる代わりに、たとえば、軌道を修正する力の場がそれです。
- たとえば、ボイジャー探査機は、惑星の近くを通過するたびに、(反対の画像のように) 曲がった宇宙航路をたどりました。彼らの道は、螺旋の形にたとえることができますが、それでも最速の道です。
アインシュタインの特殊相対性理論は、物質をエネルギーに結びつけることにより、それまで測地線から逃れられていたと思われていた光などの要素に測地線の概念を適用することを可能にしました。
- これは、例えば天体物理学において、光源と観察者の間に星が存在すると、光がそれに到達するために取らなければならない最適な経路が曲がるという事実によって具体化されます。
一般相対性理論 は、時間を湾曲した空間に結びつけることによって、軌道の概念と測地線の概念を結び付けることを可能にしました。
- 太陽の周りの地球の軌道は、時空における地球の論理的な経路であり、地球の運動量と太陽への落下の混合から生じます。
幾何学的なアプリケーション
メートル幾何学
計量幾何学では、測地線は局所的なあらゆる場所の最小距離に従う曲線です。より正確には、単位間隔Iから計量空間Mまでのパラメトリック曲線 γ: I → Mは、すべてのt ∈ Iに対して次のようなI内のtの近傍J が存在するような定数v ≥ 0 が存在する場合、測地線となります。すべてのt 1 、 t 2 ∈ Jについて、次のようになります。
- $$ {d(\gamma(t_1),\gamma(t_2))=v|t_1-t_2|.\,} $$
これは、リーマン多様体の測地線の概念を一般化します。ただし、計量幾何学では、考慮される測地線にはほとんどの場合、 v = 1 および v = 1 という事実によって定義される自然パラメータ化が装備されています。
- $$ {d(\gamma(t_1),\gamma(t_2))=|t_1-t_2|.\,} $$
(擬似)リーマン幾何学
擬似リーマン多様体では、測地線M は、独自の接線ベクトルを平行に運ぶ規則的なパラメータ化曲線 γ( t ) によって定義されます。
これが何を意味するかを直観的に理解するには、地球の周りを一定の高度で飛行し、パリから北京まで最短ルートで向かう旅客機を想像してみてください。乗客の視点から見ると、飛行機の方向は常に同じです。旅行の終わりに、乗客は方向を変えるような加速度をまったく感じなかった。彼らによれば、彼らは最短ルートを選択したという。しかし、地球を中心とした基準系を考えると、飛行機の速度を表すベクトルは、惑星の形状に従うように時間の経過とともに方向を変えてきました。航空機が移動する幾何学形状に適応した方法での航空機の速度ベクトルのこの変更は、平行輸送が意味するものに正確に対応します。
数学用語では、これは次のように表されます。γ (λ) は測地線を表すパラメーター化された曲線であり、
- $$ {\frac{{\rm d} \gamma(\lambda)}{{\rm d}\lambda} =V=V^{\mu}\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}} $$:
座標x μに対応する基準系内の曲線への接線ベクトル (旅行者の基準系で時間とともにλ を特定する場合の速度ベクトル)
ここで、 ∇ はM上の Levi-Civita 接続です (共変導関数に相当します)。
この定義とレヴィ-チヴィタ接続の成分式から、測地方程式が得られます。
したがって、測地線は、さまざまな形で、この微分方程式に応答するパラメトリック曲線になります。ザ
最初の定式化を直感的に理解するには、オペレーターが