導入
線形代数では、カーネル補題は準同型性の低減に関する結果です。体K上のベクトル空間Eにおいて、 Eの演算子uがKの係数を持つ多項式 P(X) によってキャンセルされる場合、この補題はuによる安定ベクトル部分空間の直接和としてEの分解を提供します。後者はU字型多項式のカーネルとして定義され、関連するプロジェクター自体がU字型多項式になります。
この証明は、多項式に関する Bezout 恒等式をベクトル部分空間に変換します。基本的な結果として、カーネル補題は ダンフォード分解につながり、次にジョルダン分解につながります。もっと控えめに言うと、カーネル補題は、単純な根を持つ多項式によってキャンセルされる場合、演算子uが対角化可能であることを示します。
声明
カーネル補題— E を体K上のベクトル空間とし、 f をEの準同型性とします。もし
- $$ {\bigoplus_{i=1}^n \ker \left[ P_i(f) \right] = \ker \left[ \left( \prod_{i=1}^n P_i \right)(f) \right].} $$
さらに、 V iへの平行投影は、
デモンストレーション
nの帰納法により。ポーズをとる
- $$ {P=\prod_{i=1}^n P_i.} $$
初期化
n = 2と仮定します。すると、 P = P 1 P 2となります。ベズーの定理によれば、
どちらか
どちらか
- $$ {P_2(f)\{[(U_1P_1)(f)](x)\}=[(U_1P_1P_2)(f)](x)=[U_1(f) \circ P(f)](x)=0;} $$
それはそれを示しています
したがって、次のように推測されます。
- $$ {\ker P(f) = \ker P_1(f) \oplus \ker P_2(f).} $$
遺伝
カーネル補題が次のように証明されたとします。
- $$ {\ker P(f)=\ker Q_1(f) \oplus \ker Q_2(f)= [\ker P_1(f) \oplus \cdots \oplus \ker P_n(f)]\oplus \ker P_{n+1}(f)=\bigoplus_{i=1}^{n+1} \ker P_i(f);} $$
これは、カーネル補題がn + 1に対して真であることを示しています。
アプリケーション
カーネル補題は、準同型性の低減に使用されます。例えば ：
ブロックによる対角形式への還元— E を体K上の有限次元ベクトル空間とし、 f をEの準同型性とします。どちらか
- $$ {\mathrm{Mat}_\mathcal{B}(f)=\begin{pmatrix} A_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & A_2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & A_n \end{pmatrix};} $$
ここで、 n i =ディムカーPi ( f ) 。
したがって、仮説ker P ( f ) = Eにより、カーネル補題によれば次のようになります。
- $$ {E=\bigoplus_{i=1}^n \ker P_i(f).} $$
各ker 部分空間Pi ( f )はfによって安定しているため、安定部分空間への以前の分解に適応されたEの任意の基底におけるfの行列は、必要に応じてブロック対角になります。
vdm | ||
|---|---|---|
| ベクトル • スカラー • 線形結合• ベクトル空間 • 行列 | ||
| ベクトルファミリー | 生成族 • 自由族（線形独立） • 基底 • 不完全基底定理 • ランク •共線性 |  |
| 亜空間 | ベクトル部分空間 • 集合の和 • 直接和 • 補助部分空間 • 次元 • 余次元 • 線分 • 平面 •超平面 | |
| 形態論と関連する概念 | 線形応用 • カーネル • コーカーネル •カーネル補題• 擬似逆行列 • 因数分解定理 • ランク定理 • 線形方程式• 連立一次方程式 • ガウス・ジョルダン消去法 • 線形形式 • 双対空間 • 直交性 • 双対基底 • 内部同型線形 •固有値、固有ベクトルと固有空間 • スペクトル • プロジェクター • 対称性 • 対角化可能行列 • 対角化 •冪能同型性 | |
| 仕上がり寸法で | 有限次元ベクトル空間 • トレース • 行列式 • 固有多項式 • 内部同型多項式 • ケイリー・ハミルトンの定理 • 内部同型の最小多項式• 相似不変量 • 内部同型縮約 • ジョルダン還元 • ダンフォード分解 •フロベニウスの分解 | |
| 構造の強化 | ノルム • ドット積 • 二次形式 • 位相ベクトル空間 • 方向性 • 体上の代数• リー代数 •微分複素数 | |
| 開発状況 | 行列理論• 群表現 • 関数解析 • 多線形代数 • 環上の係数 | |