黄金比について詳しく解説

• 極端な理由と平均的な理由の割合の構築:

目的は、図 1を構築することです。まず、互いに距離aにあるユークリッド平面の 2 つの点OとA を考えます。線AIとOAが垂直になり、距離AIが/ 2 に等しくなるような点をIとします。中心Iを持ちA を通る円を γ とします。最後に、2 つの点BとC は、図に示されている順序で直線OIと円 γ の交点になります。 b をOからBまでの距離として定義します。構造上、 BからCまでの距離はaに等しくなります。

図を作成したら、三角形OABとOCAが相似であることを示す必要があります。これを行うには、それらに 2 つの共通点があることを示すだけで十分です。角AOBは 2 つの三角形によって共有されるため、角BAOがOCAに等しいことを示すだけで十分です。線OA は円に接しているため、この結果は内接角定理の結果です。三角形は非常によく似ています。

2 つの相似な三角形は比例しており、大きな三角形の底辺OC が小さな三角形の底辺OAに関係し、大きな三角形の一辺OA が小さな三角形の同等の辺OBに関係していることを示しています。式(1)が得られます。

• 値bの一意性:

a を厳密に正の長さとし、 c をaより小さい実数とし、比率a / cが極端かつ平均的な比率になるようにします。 OBC を、距離OBがcに等しく、 BCがaに等しいような 3 つの整列した点であるとします。 γを直径BCの円、 Aを線OAが円に接するようなγの点とする。

前のデモの議論は、三角形OABとOCAが相似であり、得られた図が前の段落のものであることを示しています。結論として、値c は、前の段落で計算されたbと等しくなります。これはbの一意性を示しています。

• φの幾何学的決定:

φ の値を計算するには、 aとb が極端かつ平均的な比率にある場合、( a + b ) / a はφ に等しいという事実を利用できます。長さa は任意に選択できます。簡単な方法は、1 に等しい長さを選択することです。その場合、値 φ はa + bまたは 1 + bに等しくなります。 OCの長さは、 OBとEBの長さの合計に等しいため、黄金比であるb + 1 に等しくなります。ここで、数字 1 は、構造上、半径 1/2 の円Cの直径を表します。

OCの長さは φ に等しく、 OIとICの長さの合計にも等しくなります。ピタゴラスの定理は、 OとIの間の距離が √5/2、つまり辺の長さが 1 と 1/2 の長方形の対角線の長さに等しいことを示しています。 IからCまでのそれは円の半径1/2に等しい。長さOC は黄金数 φ と 1/2.(1+√5) の両方に等しく、望ましい結果を示しています。

• φ の代数的決定:

φ を計算するための別の解決策は、3 番目の定義を使用することで構成されます。値 φ は、次の二次方程式の正の解によって与えられます。

二次方程式の判別式は 1 + 4 = 5 に等しく、解は 2 つあり、1 つだけが正であると推定されます。

判別式を使用しない計算は、二次方程式の記事の序章で提案されています。

三角法を使用すると、段落のさまざまなプロパティを表示できます。また、幾何学を使用してこれらの結果を確立することもできます。

最初の補題がさまざまな証明の鍵となります。 aとb ( a > b)を、極値と平均に比例した 2 つの長さとします。 ABD を、 AとB が互いに距離aに位置し、 BとD が距離bに位置するような黄金の三角形とします。

図 4 : 金色の三角形を銀色の三角形と、最初の黄金比に応じた金色の三角形に分割します。

• C を線分ADの点とし、距離ACが b に等しくなるようにすると、三角形 BCD は金色の三角形、三角形ABC は銀色の三角形になります。

この命題は右図に対応します。構造上、距離ABとAD はaに等しくなります。 Aのbに位置する線分ABの点E を考え、三角形AEC (緑色) がBCD (黄色) に等しいことを示します。角度と 2 つの等しい辺があることを示すだけで十分です。 2 つの三角形AECとABDは似ており (両方の二等辺が同じ頂点を持つため)、比率はa / bです。 BとDの間の距離はbに等しいため、 CとEの間の距離はa − bに等しくなります ( b /( a − b ) = a / bであるため)。この距離は、 CとD の間の距離と同じになります。三角形ACEとADBの類似した性質は、角度ACEがADBに等しいことを示しています。最終的に、距離DB はACの距離に等しくなります。 2 つの三角形は 2 つの等しい辺と角度を持ち、同一です。 ACE三角形は黄金三角形ADBに似ており、三角形BDCと同様に黄金三角形でもあります。最初の三角形とa / bに比例します。

ACBトライアングルが実際に銀であるかどうかはまだ証明されていません。 BからCまでの距離がbに等しいことを証明できれば十分です。ここで、三角形BDC は黄金の三角形であるため、距離BC はBDの距離、したがってbに等しいことがわかり、デモンストレーションは完了です。

• 黄金の三角形は 72° の 2 つの角度と 36° の 1 つで構成され、銀の三角形には 36° の 2 つの角度と 108° の 1 つが含まれます。

前の補題は、三角形ABCが頂点 C を持つ二等辺であることを示しています。したがって、角度DCB は角度CAB の2 倍に等しくなります。つまり、右側の表記では μ = 2θ となります。一方、三角形BCDも黄金三角形なので頂点Bと二等辺であり、その角度はθ、2θ、2θです。角度の合計が 180°に等しい場合、5θ=180°、つまり θ=36° になります。その後、μ = 2θ = 72°となり、η = 180 – μ = 108°となります。

θ は半回転の 5 分の 1、μ は 5 分の 2、η は 5 分の 3 に等しいことに注意してください。

• 図 3 の点P ₁ 、 P ₂ 、 P ₃ 、 P ₄およびP _{5 は}五角形を形成します。

ここで使用される方法は、2 つの頂点が連続している場合、円の中心との角度が 72° であることを示すことから構成されます。

角度 P ₄ AP ₅は 72° です。

この最初のステップは、点P ₄およびP _{5 が}、中心Oおよび半径b の円と、中心Aおよび半径aの円の交点として定義されるという事実の結果です。三角形P ₄ AOとOAP ₅は金、角度P ₄ AOとOAP ₅はそれぞれ 36° であると結論付けることができます。

角度 P ₄ AP ₂は 72° です。

OとP ₂の間の距離はa + bに等しく、 OとA の間の距離、およびAとP ₂の間の距離もaに等しい。これから、三角形OAP ₂は銀色の三角形であると推定されます。したがって、角度ＯＡＰ２_は１０８°である。角度P ₄ AO は36° であるため、差により、角度P ₄ AP ₂は 108° – 36° または 72° であることがわかります。

角度 P ₂ AP ₀は 72° です。

角度ＯＡＰ _２は１０８°であり、角度ＯＡＰ _０は平坦であるため、角度Ｐ _２ ＡＰ _０は１８０°〜１０８°、すなわち７２°に等しい。

結論 ：

角度P ₅ AP ₃とP ₃ AP _{0 を}測定することがまだ残っています。これを行うには、線OA が五角形の対称軸であり、その結果、角度P ₅ AP ₃がP ₄ AP ₂に等しく、 P ₃ AP ₀がP ₁ AP ₀に等しいことに注意するだけで十分です。デモンストレーション。

$$ {\cos(144^\circ)= -{\varphi \over 2},\quad \sin(36^\circ) ={\sqrt{3-\varphi}\over 2},\quad \sin(72^\circ)= {\sqrt{2+\varphi} \over 2}} $$

半角の公式を適用すると、次のようになります。

$$ {\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac 12 \sqrt{2 + 2\cos(\theta)}} $$

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倍角と余角の公式と同様に、9°の倍数であるすべての角度の余弦を求めることができます。いくつかは黄金比を使用して表現されます。

$$ {\cos\,(\,9^\circ) \, = \frac 12 \sqrt{2+\sqrt{ 2+\varphi }},\quad \cos\,(18^\circ)= \frac 12 \sqrt{ 2+\varphi },\quad \cos\,(27^\circ)= \frac 12 \sqrt{2+ \sqrt{ 3-\varphi }},\quad \cos\,(54^\circ)= \frac 12 \sqrt{ 3-\varphi }} $$

$$ {\cos\,(63^\circ)= \frac 12 \sqrt{2 – \sqrt{ 3-\varphi }},\quad \cos\,(81^\circ)= \frac 12 \sqrt{2 – \sqrt{ 2+\varphi }}} $$

形状の角度の余弦を決定することもできます。

$$ {\cos\,(9^\circ) = \frac 12 \sqrt{2+\sqrt{ 2+\varphi }},\quad \cos\left(\frac 92 ^\circ \right) =\frac 12 \sqrt{2+\sqrt{ 2+\sqrt{ 2+\varphi }}},\quad \cos\left(\frac 94 ^\circ \right) = \frac 12 \sqrt{2+\sqrt{ 2+\sqrt{ 2+\sqrt{ 2+\varphi }} }}} $$

一般的に：

$$ {\cos\left(\frac{9^\circ}{2^{n+2}}\right) = \frac 12 \sqrt{2+\sqrt{ 2+\cdots \mbox{n racines gigognes} \cdots \sqrt{ 2+\sqrt{ 2+\varphi }} }}\, \quad(n \ge 0)} $$