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古代の量子理論の娘である量子力学は、量子物理学の一般名の下にグループ化される一連の物理理論の柱を構成します。この名前は古典物理学の名前とは対照的であり、後者は原子や粒子といったミクロの世界の記述や、 電磁放射の特定の特性の記述において失敗しています。
量子力学の基本原理は、主に 1922 年から 1927 年にかけて、ボーア、ディラック、ド ブロイ、ハイゼンベルク、ヨルダン、パウリ、シュレディンガーによって確立されました。これらにより、巨大な非相対論的粒子の力学の完全な記述が可能になります。ボーアは、対応原理に基づくコペンハーゲン解釈と呼ばれる形式主義の解釈を提案しました。
基本原理はボーズとフェルミによって完成され、同一の粒子のセットを記述できるようになり、量子統計物理学の発展への道が開かれました。最後に、1930 年に数学者フォン ノイマンが理論の厳密な数学的枠組みを明らかにしました。
関連する相対論的拡張は場の量子論です。
概要
導入
古代の量子理論の娘である量子力学は、 19世紀末に注目された特定の実験結果と、それに対応する古典物理学の理論的予測との間のすべての不一致を修正することを可能にした、完全に一貫した数学的枠組みを確立しました。
量子力学は、1924 年にド・ブロイによって導入された波動粒子双対性の概念を取り上げ、発展させました。これは、物質の粒子を点微粒子としてだけでなく、一定の空間的広がりを持った波としても考えることから成ります (波動力学を参照) 。ボーアは、この明らかなパラドックスを解決するために相補性の概念を導入しました。あらゆる物理的物体は確かに波と微粒子の両方ですが、これら 2 つの側面は相互に排他的であり、同時に観察することはできません[ 1 ] 。波動特性を観察すると、粒子の外観は消えます。逆に、粒子の性質を観察すると、波の様相は消えます。
現在までに、量子力学の予測と関連する実験テストとの間に矛盾は検出されていません。残念ながら、この成功には代償が伴います。理論は抽象的な数学的形式主義に基づいているため、素人にはとっつきにくいものになっています。
いくつかの成功例
歴史的には、この理論により、原子や分子の電子構造、および電磁場との相互作用を正しく記述することが初めて可能になりました。また、凝縮物質の挙動、特に結晶の構造とその振動（フォノンと呼ばれる）、バンド理論による金属の電気伝導率と熱伝導特性、半導体の存在と特性、トンネル効果。最後に、超伝導体と超流体を理解できるようになります。
量子力学のもう 1 つの大きな成功は、ギブスのパラドックスを解決したことです。古典的な統計物理学では、同一の粒子は識別可能であると考えられており、エントロピーはそれほど大きな量ではありません。量子力学では同一の粒子は区別できないという事実を考慮することによって、理論と実験の間の一致が再確立されました。
量子力学の相対論的一般化である場の量子理論は、粒子の総数が保存されない現象、つまり放射能、核分裂（すなわち、原子核の崩壊）、核融合を記述することを可能にします。
正準定量化
古典的な平面波
古典物理学では、正の x の方向に伝播する脈動ωの単色進行平面波は次のように記述されます。
- $$ {\Psi(x,t) = \Psi_{0} \ e^{-i(\omega t – k x)}} $$
ここで、振幅Ψ 0は一定です。この古典的な式に量子のド・ブロイ関係を導入すると、量エネルギーEと運動量p を明らかにできます。
- $$ {\Psi(x,t)\ = \ \Psi_{0} \ e^{-i({\frac{E}{\hbar}t-\frac{p_x}{\hbar}x})}} $$
この式は次元3 で簡単に一般化できます。
- $$ {\Psi(\vec{r},t)\ = \ \Psi_{0} \ e^{-\frac{i}{\hbar}(Et-\vec{p}\cdot\vec{r})}} $$
したがって、エネルギーを取得したい場合は、時間に関して次のように導出すれば十分であることは明らかです。
- $$ {i \ {\hbar} \ \frac{{\partial}\Psi}{{\partial}t} \ = \ E \ \Psi(\vec{r},t)} $$
そして、力積を取得するには、勾配を取得する必要があります。
- $$ {- \ i \ {\hbar} \ {\nabla}\Psi \ = \ \vec{p} \ \Psi(\vec{r},t)} $$
正規定量化のルール
正準定量化は、次の置換ルールに従って、実数である位置と運動量の古典的な動的変数を演算子で置き換えることで構成されます。
- 位置座標x i は位置演算子に関連付けられています$$ {\hat{x}^i} $$のような ：
- $$ {\hat{x}^i \ f(\vec{r}) \ = \ x^i \ f(\vec{r})} $$
- インパルス変数p i はインパルス演算子に関連付けられています$$ {\hat{p}_i} $$のような ：
- $$ {\hat{p}_i \ f(\vec{r}) \ = \ – \ i \ {\hbar} \ \frac{\partial f(\vec{r})}{\partial x^i}} $$、 どちらか ：$$ {\hat{p}_i \ = \ – \ i \ {\hbar} \ \frac{\partial}{\partial x^i}} $$
- エネルギー変数は時間微分演算子に関連付けられます。
- $$ {E \ f(\vec{r}, t ) \ = \ i \ {\hbar} \ \frac{\partial f(\vec{r}, t )}{\partial t}} $$、 どちらか ：$$ {E \ \to \ i \ {\hbar} \ \frac{{\partial}}{{\partial}t}} $$
シュレーディンガー方程式
方程式のヒューリスティックな導出
ポテンシャルに由来する力を受ける非相対論的質量粒子の総力学的エネルギーを与えるハミルトニアンは、次の古典的な式で与えられます。
- $$ {H(\vec{r}, \, \vec{p}) \ = \ \frac{p^2}{2m} \ + \ V(\vec{r}) \ = \ E} $$
この量には、初期条件が与えられた場合に、ハミルトンの正準方程式によるシステムの動的進化の古典的研究に必要なすべての情報が含まれています。この古典的な粒子は波と関連付けられています
- $$ {\hat{H} \ = \ \frac{\hat{p}^2}{2m} \ + \ V(\hat{r}) \ = \ – \ \frac{\hbar^2}{2m} \ \vec{\nabla}^2 \ + \ V(\vec{r})} $$
微分演算子
- $$ {H(\vec{r}, \, \vec{p}) \ = \ E} $$
各辺に波動関数を乗算すると、時間依存のシュレーディンガー方程式が得られます。
- $$ {- \ \frac{\hbar^2}{2m} \ \Delta \ \Psi(\vec{r},t) \ + \ V(\vec{r}) \ \Psi(\vec{r},t) \ = \ i \ {\hbar} \ \frac{{\partial}\Psi(\vec{r},t)}{{\partial}t}} $$
この方程式は、真空中の光の速度と比較して小さい古典的な速度に対してのみ有効であることに注意してください。
波動関数の物理的解釈
波動関数Ψの物理的解釈は、1926 年生まれ: この波動関数の二乗モジュールによって与えられます。
$$ {dP(\vec{r},t) \ = \ \left| \Psi(\vec{r},t) \right|^2 \ dV} $$ |
は、点の近くにある小さな体積d V内で粒子が見つかる確率として解釈されます。
$$ {\iiint dP(\vec{r},t) \ = \ \iiint \left| \Psi(\vec{r},t) \right|^2 \ dV \ = \ 1} $$ |
注:量子宇宙論のように、研究対象の量子系が宇宙全体である場合、この統計的解釈は問題を引き起こします。この場合、理論物理学者はエベレットのいわゆる「多世界」解釈を優先的に使用します。
解決方法
シュレディンガー方程式は、正確に積分する方法がわかっているいくつかの特殊な場合を除いて、一般に正確な分析的解決には役立ちません。その場合、次のことが必要になります。
- または 外乱理論などの近似手法を開発します。
- あるいは数値的に解きます。このデジタル解像度により、電子軌道の奇妙な配置を視覚化することが可能になります。
ディラック形式主義: アーム、ケット、および基本公準
ディラックは 1925 年に強力な表記法を導入しました[ 2 ] 。これはベクトル空間上の線形形式の数学理論から導き出されたものです。この抽象的な形式主義では、量子力学の公準は簡潔で特にエレガントな形をとります。
量子力学と相対性理論
量子力学は非相対論的な理論です。アインシュタインの特殊相対性理論の原理は組み込まれていません。正準定量化の規則を相対論的分散関係に適用することにより、クライン-ゴードン方程式 (1926) が得られます。しかしながら、この方程式の解は、単一の粒子を記述すると考えられる理論の文脈では解釈に重大な困難をもたらします。特に、どこにでも存在する確率の正の密度を構築することはできません。これは、クラインゴードン方程式には2時間微分値が含まれています。次に、ディラックは時間内に別の一次相対論的方程式を探し、電子のようなスピン1/2 フェルミ粒子を非常によく記述するディラック方程式を取得します。
すべての相対論的量子方程式を難なく解釈するための関連枠組みは、場の量子理論です。
ディラック方程式には、量子力学のローレンツ不変性と電磁場との相互作用が当然組み込まれていますが、それでも古典的な方法で扱われます (半古典近似について話します)。それは相対論的量子力学を構成します。しかし、まさに粒子と場の間の相互作用のため、全体の首尾一貫した記述を得るために、電磁場にも定量化手順を適用する必要がある。この手順の結果は、物質も場によって記述されるため、場と粒子の間の統一性がさらに透明になる量子電気力学です。量子電気力学は場の量子理論の特別な例です。他の基本的な相互作用が発見されると、他の量子場の理論がその後開発されました (電弱理論、次に量子色力学)。
ハイゼンベルクの不等式
ハイゼンベルクの不確実性関係は、共役量の特定のペアの正確な値に対応する量子状態を準備することが不可能であることを反映しています。これは、これらの古典量に関連付けられた量子演算子が可換でないという事実に関連しています。
位置と運動量の不平等
たとえばポジションを考えてみましょう
$$ {\left[ \hat{x}^i , \hat{p}_j \right] f( \vec{r} ) \ = \ \left( \hat{x}^i \hat{p}_j – \hat{p}_j \hat{x}^i \right) f( \vec{r} ) \ = \ i \hbar \ \delta^i_j \ f( \vec{r} )} $$ |
不確実性関係は、共役量の平均二乗偏差から定義されます。粒子の位置xと運動量p xの場合は、例えば次のように書きます。
$$ {{\Delta}x \, \cdot \, {\Delta}p_x \ {\ge} \ \frac{\hbar}{2}} $$ |
状態の位置の分布が厳密であればあるほど、それに関連するインパルスの値の分布は広くなります。この特性は、フーリエ変換の結果を介して波の場合を思い出させ、ここでは波と粒子の二重性を表します。これが、連続微分可能な経路としての軌道という古典的な概念への疑問につながることは明らかです[ 3 ] 。
時間とエネルギーの不平等
粒子のエネルギーと時間変数に関連する不確実性の関係もあります。したがって、期間は
ただし、このエネルギーと時間の不等式の導出は、位置と運動量の不等式の導出とはまったく異なります[ 5 ] 。
実際、ハミルトニアンが実際にハミルトニアン力学における時間変換の生成元である場合、時間とエネルギーが共役であることを示しています[ 6 ] 、量子力学には時間演算子は存在しません(「パウリの定理」)。つまり、構築することはできません。オペレーター
これには非常に根本的な理由があります。実際、量子力学は、各安定した物理システムが最小エネルギーの基本状態を持つように発明されたものです。パウリの議論は次のとおりです。時間演算子が存在する場合、それは連続スペクトルを持つことになります。ただし、時間演算子は標準的な交換関係に従い、エネルギー変換の生成元にもなります。これは、ハミルトニアン演算子も連続スペクトルを持つことを意味し、安定した物理系のエネルギーは下限になければならないという事実と矛盾します[ 7 ] 。
もつれ
意味
もつれとは、各古典系に対応する状態の積に因数分解できない 2 つ (またはそれ以上) の古典系を記述する量子状態 (波動関数も参照) です。
2 つの系または 2 つの粒子は、それらの間に相互作用が生じるとすぐに絡み合う可能性があります。その結果、エンタングル状態は例外ではなく一般的になります。粒子の 1 つに対して測定が実行されると、測定の量子仮説に従ってその量子状態が変化します。絡み合いのため、この測定は他の粒子の状態にも同時に影響を及ぼします。しかし、この状態変化を光速よりも速い情報の伝達とみなすのは誤りです (したがって、相対性理論に違反します)。その理由は、もつれ状態の場合、最初の粒子の測定結果が常にランダムになるためです。したがって、他の粒子の状態の変更は、それがどれほど即時であっても、依然としてランダムのままであるため、いかなる情報も「送信」することは不可能です。 2 つの粒子の測定値間の相関関係は、非常に現実的であり、世界中の多くの研究室で実証されていますが、測定結果が比較されない限り検出できないままです。これには必然的に相対性理論を尊重した古典的な情報交換が必要になります ( EPRパラドックス）。量子テレポーテーションは、もつれを使用して、ある物理システムから別の物理システムに量子状態を確実に転送します。このプロセスは、量子情報を完全に転送する唯一の既知の方法です。それは光の速度を超えることはできず、物質の移動がないという点で「肉体を持たない」(スタートレックの架空のテレポートとは異なります)。
この状態を重ね合わせ状態と混同しないでください。同じ量子物体は 2 つ (またはそれ以上)の重ねられた状態を持つことができます。たとえば、同じ光子が同時に「縦極性」状態と「横極性」状態になる可能性があります。シュレーディンガーの猫は、「死んだ」状態と「生きた」状態を同時に持っています。半反射板を通過する光子は「透過光子」と「反射光子」が重なった状態になります。量子物体が決定された状態を持つのは、測定行為中のみである。
量子物理学の形式主義では、いくつかの量子対象のもつれ状態は、各量子対象の状態ベクトルのテンソル積によって表現されます。重ね合わせ状態は、単一の量子オブジェクト(エンタングルメントの可能性がある) にのみ関係し、その異なる状態可能性の線形結合によって表されます。
量子テレポーテーション
量子システムの状態はそれを観察することによってのみ判断できますが、これは問題の状態を破壊する効果があります。ただし、これは一度知られれば、原理的には他の場所で再現できます。言い換えれば、量子の世界では複製は不可能であり、別の場所での再構築のみが可能であり、 SFのテレポーテーションの概念に似ています。
これは、1993 年に CH Bennett、G. Brassard、C. Crépeau、R. Jozsa、A. Peres、W. Wootters によって、 Physical Review Letter の記事「デュアル古典チャネルと EPR チャネルによる未知の量子状態のテレポート」で理論的に開発されました。再構成は、1997 年にインスブルックのアントン ザイリンガーのチームによって光子を用いて実験的に行われ、さらに最近では水素原子を用いて行われました。
いくつかのパラドックス
これらの「パラドックス」は、量子力学の解釈について私たちに疑問を投げかけ、場合によっては、私たちの日常の感覚経験に直接関係しないこの分野において、私たちの直観がどの程度誤解を招く可能性があるかを明らかにします。
シュレーディンガーの猫
このパラドックスは、波束削減仮説の解釈の問題を浮き彫りにします。
EPRのパラドックス(アインシュタイン・ポドルスキ・ローゼン)とアラン・アスペクトの実験
このパラドックスは、もつれ状態によって暗示される、量子物理学の非局所性を強調しています。
マーラン・スカリーの実験:過去のフィードバックの出現
この実験は、時間 T に記録された実験の結果が、後の時間 T+t に実行されたアクションに客観的に依存するという実証として解釈できます。この解釈によれば、もつれ状態の非局所性は空間的であるだけでなく、時間的でもあることになる。
ただし、時刻 T に記録された状態が後続のイベントに依存することを時刻 T+t より前に証明することは、根本的な理由から不可能であるため、因果関係は厳密には違反されません。したがって、この現象は将来に関する情報を与えることはできません。
反事実。エリッツァー・ヴァイドマン問題
量子力学によれば、起こる可能性があったのに起こらなかった出来事が実験の結果に影響を与えます。この矛盾については、「反事実性」の記事で詳しく説明されています。
デコヒーレンス: 量子の世界から古典の世界へ
量子力学の原理は宇宙に含まれるすべての物体（私たちを含む）にアプリオリに適用されるのに、なぜ私たちは巨視的な世界の本質を古典的に認識し続けるのでしょうか？特に、量子の重ね合わせはなぜ巨視的な世界で観測できないのでしょうか?デコヒーレンスの理論は、考慮されている量子システムとその環境の間の避けられない結合によるそれらの非常に急速な消失を説明します。
この理論は、例えば空洞内の数個の光子の系など、デコヒーレンス時間が測定できないほど短すぎないメゾスコピック系の研究によって実験的に確認されている(Haroche et al. -1996)。