導入
1 + 24/60 + 51/60 2 + 10/60 3 = 1.41421296… (クレジット: Bill Casselman)。
バビロニア数学は、シュメール人の時代から紀元前 539 年のバビロン崩壊まで、古代メソポタミア (現在のイラク) の人々によって実践されていた数学です。 J. Chr. 古代エジプトの数学に関する情報源は非常にまれですが、バビロニアの数学に関する知識は、1850 年代以降に発掘された約 400 枚の粘土板に基づいています。これらの板は、まだ湿った粘土で作られ、楔形文字で書かれていました。私たちに伝わるタブレットのほとんどは、紀元前 1800 年から1600年のものです。 J. Chr. は、分数、代数方程式 (2次および 3 次の方程式)、斜辺およびピタゴラスの三重項の計算、さらにはおそらく特定の三角関数も扱います (特にタブレット Plimpton 322 を参照)。 YBC 7289タブレットは、次の近似値を提供します。
バビロニアの番号付け
バビロニア人の間で使用されていた番号付けシステムは60 進法 (「60 進法」) でした。私たちが時間を 60 分、1分を 60 秒に分割し、円周を 360 (60×6) 度に分割する習慣もバビロニア人から受け継いだものです。バビロニア人の間での数学の発展は 2 つのことによるものです。まず第一に、60 という数字は高度に合成された数であり、その多数の約数 (2、3、4、5、6、10、12、15、20、30) によって分数の計算が容易になります。次に、エジプト人やローマ人とは異なり、バビロニア人（後のインディアンと同様）は、左端の数字が最大値を表す本格的な位置番号付けシステムを持っていたという事実に気づきました（私たちの十進法とまったく同じです： 734 = 7×100 + 3×10 + 4×1)。
次の 2 つの記号が使用されました。 
古代バビロニアの数学 (紀元前 2000 ～ 1600 年)
数学的な内容を含むほとんどの石板が古バビロニア時代に関連付けられているのは、私たちがメソポタミアの数学を「バビロニア数学」と呼ぶことに慣れている理由でもあります。いくつかのタブレットには数字のリストや表があり、他のタブレットには問題の記述とその解決策が記載されています。
算術
乗算
バビロニア人は計算や算術問題の解決に数表を広く使用しました。たとえば、1854 年にユーフラテス川のセンケラで発見された 2 つの石板は紀元前 2000 年のものです。 J. Chr. は、59 までの整数の 2 乗と 32 までの立方体のリストです。バビロニア人は、これらを次の恒等式で乗算を実行するために使用しました。
- $$ {ab = \dfrac{(a + b)^2 – a^2 – b^2}{2}} $$
- $$ {ab = \dfrac{(a + b)^2 – (a – b)^2}{4}} $$
分割
バビロニア人は分裂を引き起こしませんでした。この種の計算では、次のような製品が得られました。
- $$ {\dfrac{a}{b} = a \times \dfrac{1}{b}} $$
逆数表を使用しました。素因数として 2、3、または 5 のみを持つ数の逆数 (「5 平滑数」または「通常の数」と呼ばれる) は、60 進法で有限の桁数で記述されます。しかし、次の結果を与える表が多数見つかりました。このような整数の逆数。
覚えておかなければならないのは、 1 として注目するものを 60 または 60² として指定することもできます。 2 つの数は、その積が 60 の累乗になると、互いに逆数になります。したがって、次の「逆」は、 (2)は (30) 2×30 = 60 であるため。古典的な逆数表は次のとおりです (基数 60 で、桁区切り文字として 2 つのドット ‘:’ を使用):
2 30 16 3:45 45 1:20 3 20 18 3:20 48 1:15 4 15 20 3 50 1:12 5 12 24 2:30 54 1: 6:40 6 10 25 2:24 1 1 8 7 :30 27 2:13:20 1:4 56:15 9 6:40 30 2 1:12 50 10 6 32 1:52:30 1:15 48 12 5 36 1:40 1:20 45 15 4 40 1 :30 1:21 44:26:40
ここで、6×60+40 を表す 6:40 は、9×(6×60+40) = 3600 = 60² であるため、9 に関連します。したがって、9 はバビロニアの意味での 6×60+40 の逆数です。
逆に、1/7、1/11、1/13 などの逆数は、 60進法での有限表現はありません。 1/13 を計算する、または数値を 13 で割るには、バビロニア人は次の形式の近似を使用しました。
- $$ {\dfrac{1}{13} = \dfrac{7}{91} = 7 \times \dfrac {1}{91} \approx 7 \times \dfrac{1}{90}=7 \times \dfrac{40}{3600}=\dfrac{4\times 60 + 40}{3600}} $$
代数
バビロニアの数学者は、算術計算に加えて、特定の代数方程式を解くアルゴリズムも想像しました。ここでも数表が使われました。
二次方程式を解くために、バビロニア人は基本的に自分たちを正準形式に還元しました。
- $$ {\ x^2 + bx = c} $$
ここで、係数bとc は必ずしも整数である必要はありませんが、 c は常に正です。彼らは、この形式の方程式に対する正の解 (彼らにとって意味のある唯一の解) は次の公式によって得られることを知っていました。
- $$ {x = – \dfrac{b}{2} + \sqrt{ \left ( \dfrac{b}{2} \right )^2 + c}} $$
そして二乗表を使用して、この式に含まれる平方根を求めました。このタイプの計算に帰着できる具体的なステートメントの中には、長方形の表面積と幅に対する長さの超過を知ってその寸法を求めるものがありました。
一部の 3 次方程式は、 n 3 + n 2のテーブルを使用して解くことができます。たとえば、次の方程式を考えてみましょう。
- $$ {\ ax^3 + bx^2 = c.} $$
方程式にa 2を乗算し、 b 3で除算すると、次のようになります。
- $$ {\left ( \dfrac{ax}{b} \right )^3 + \left ( \dfrac {ax}{b} \right )^2 = \dfrac {ca^2}{b^3}.} $$
y = ax / b を代入すると、次のようになります。
- $$ {y^3 + y^2 = \dfrac {ca^2}{b^3}} $$
この方程式は、 n 3 + n 2の表を参照して右辺に最も近い値を見つけることで解くことができます。バビロニア人は代数演算を実際に尋ねることなくこれらの計算を実行しました。これは、驚くべき集中力を証明しています。しかし、彼らは 3 次方程式を解くための一般的なアルゴリズムを持っていませんでした。
ジオメトリ
バビロニア人は、特定の幾何学的図形の表面積と体積を計算するための一般的な規則を持っていた可能性があります。彼らは、直径の3 倍を使用して円の円周を計算し、円周の2 乗の 12 分の 1 を使用して円の表面積を計算しました。これは、聖書にも出てくる値をπに取ったことになります。すなわち、 3円柱の体積は、その底面と高さの積を形成することによって計算されます。一方、円錐台や底面が正方形の角錐の体積の計算は誤りでした。バビロニア人は、高さと底面の半分の和（つまり平均）の積を計算しました。彼らはピタゴラスの定理を公式として知っていましたが、それ自体を実証した形跡はありませんでした。私たちは最近、 πの値 3 + 1/8 を取るタブレットを発見しました。バビロニア人は、約 10 km を表すバビロニア マイルを使用して距離を測定しました。この測定単位には時間に相当するものがあり、これにより空の太陽の位置を時刻に変換することができました。
三角法
古代バビロニア人が何世紀にもわたって、相似な三角形の辺間の関係が等しいことを知っていたとしても、角度の概念は彼らにとって異質なものでした。したがって、彼らは辺の長さを考慮することに専念しました。
バビロニアの天文学者は、星の昇りや沈み、惑星の動き、日食や月食などの詳細を正確に記録していましたが、これらすべての詳細は、天球上で測定された角距離に精通していることが前提となっていました。
バビロニア人は、楔形文字で書かれた板、プリンプトン板 322 (紀元前 1900 年頃) に記載されている数字の表で証明されているように、三角関数の線を最初に使用したようであり、これは正割の三角関数表として解釈できます。
バビロニア文明の再発見により、古典期およびヘレニズム時代のギリシャの数学者と天文学者、特にニカイアのヒッパルコスはカルデア人から多額の借入を行ったようです。
フランツを「カルデア人」 から自分のものに。しかし、クーグラーは、プトレマイオスがヒッパルコスのものとしている期間が、バビロニア暦、すなわち「システムB」と呼ばれるコレクション（キディンヌのものとされることもある）ですでに使用されていることを示した。どうやら、ヒッパルコスは、カルデア人の文書から読んだ時代の値の正確さを観察を通じて確認することに専念していたようです。
ヒッパルコス (そしてその後のプトレマイオス) が数世紀にわたる日食観察の完全なリストを持っていたことは明らかです。これらはおそらく、カルデア人によって日々行われたすべての重要な観察を含む粘土板である「日記板」から編集されたものであると考えられます。保存されている例は紀元前 652 年のものです。 J.Chr.というのは、プトレマイオスはエジプト暦の初日、つまりナボナッサル治世の最初の年、つまり紀元前747年2月26日に年代記を始めているからです。 J.Chr.
この大量の観測結果をすべて利用するのは簡単ではなかったはずで、カルデア人自身が、たとえば観測された日食のみを含む短縮表を使用していたことは疑いありません (ある期間にわたるすべての日食のリストを記載した板がいくつか見つかりました) 「サロス」に相当する期間）。これらの表により、特定の現象が定期的に再発することを記録できるようになりました。 「システム B」のコレクション ( Almagest IV.2 を参照) で使用されている期間の中で、次のものが見つかります。
- 223 か月(シノディック) = 近地点での 239 通過 (異常月) = ノード線上の 242 通過 (ドラコニティック月)。この周期はサロス周期と呼ばれ、日食の発生周期を計算するのに非常に実用的です。
- 251 か月 (会議) = 269 近地点通過
- 5458 か月 (シノディック) = ノードラインでの 5923 回の交差
- 1 シノド月 = 29;31:50:08:20 日 ( 60 進法; 29.53059413… 10 進数での日数 = 29 日 12 時間 44 分 3/3 秒)
バビロニア人は、おそらく太陰太陽暦を使用していたため、すべての期間を結会月で表現しました。 1 年以内に発生する周期的な天体現象の間隔の選択により、1 年の長さの異なる値が得られます。
同様に、惑星の周期間のいくつかの関係が知られています。プトレマイオスがヒッパルコスと帰結した関係は、バビロニアの石板で見つかった予測にすでに使用されていました。
この知識はすべて、間違いなくアレクサンダー大王 (-331) の征服直後にギリシャ人に伝わりました。哲学者シンプリキウス ( 6世紀初頭) によると、アレクサンダーはカルデアの天文暦の翻訳を命じ、その監督を伝記作家オリュントスのカリステネスに委託し、カリステネスはそれらを叔父のアリストテレスに送ったという。シンプリキウスが私たちに遅い証言しか提供していないとしても、彼の証言はそれほど信頼できるものではありません。なぜなら、彼はサーサン朝の宮廷で亡命生活をしばらく過ごし、西側で失踪した文書資料にアクセスすることができたからです。したがって、彼がテレシス（ギリシャ語で「監視」）というタイトルを使用していることは驚くべきことであり、歴史書としては奇妙だが、これは「警備する」だけでなく「監視する」という意味もあるバビロニアのマサルトゥの正確な翻訳を構成している。いずれにしても、アリストテレスの学生であるキュジコスのカリプスが、19 年メトン周期を改良した 76 年周期の使用を提案したのはこの頃でした。彼は紀元前 330 年の夏至(6 月 28 日) に最初のサイクルの 1 年目を開始しました。 J.Chr. （ユリウス暦のプロレプス）、しかしその後、紀元前 331 年の秋のガウガメラの戦いでアレクサンダーが勝利した次の月から太陰月を数えたようです。 J.Chr.したがって、カリッペはバビロニアの情報源からデータを入手することができたので、彼の暦はキディンヌの暦よりも古い可能性があります。また、ベロススとして知られるバビロニアの司祭が紀元前 281 年頃に書いたこともわかっています。 J.Chr.新しい君主アンティオコス1世に捧げられたバビロニアのギリシア語の（かなり神話的な性質の）物語、バビロニアカ。そして後に彼はギリシャのコス島に占星術の学校を設立したと言われています。天文学・占星術におけるバビロニアの知識をギリシア人に伝えることができた他の作家の中で、紀元前3世紀末にアッタロス 1 世ソーテル王の宮廷に住んでいたスーディネスの名前を挙げてみましょう。広告。
いずれにせよ、これらの天文記録の翻訳には楔形文字、言語、方法に関する深い知識が必要であったため、おそらくこの仕事は名前が私たちに届かなかったカルデア人に委託されたと思われます。実際、バビロニア人は、月と年の長さが固定されていない太陰太陽暦 (月は 29 または 30 日、年は 12 または 13 月) で観測結果を日付付けしました。さらに、当時はまだ通常の暦 (メトン周期などの周期に基づく) は使用されておらず、月は新月ごとに始まりました。このやり方では、2 つのイベントを分ける時間を計算するのが面倒になりました。
ヒッパルコスの貢献は、これらのデータをエジプト暦の日付に変換することで構成されていたに違いありません。エジプト暦は、365 日という固定長の 1 年に基づいています (つまり、30 日の 12 か月と追加の 5 日)。時間はもっとシンプルです。プトレマイオスはこのカレンダーにすべての観察の日付を記入しました。彼はまた、「彼（＝ヒッパルコス）がやったのは、より都合の良い方法で順序付けられた惑星の観察結果を編集しただけだった。 » 大プリニウスは日食の予測を扱って次のように書いています：「彼ら（＝タレス）の後、今後600年間の二つの星（＝太陽と月）の位置がヒッパルコスによって発表された…」これは意味するに違いありません。ヒッパルコスは 600 年間にわたって日食を予測したと言われていますが、これが膨大な量の計算を必要とすることを考えると、これは非常にありそうもないことです。おそらく、ヒッパルコスはナボナッセルの時代から彼の時代までの間に起こったすべての日食のリストを作成したであろう。
ヒッパルコスの著作におけるバビロニアの実践の他の痕跡は次のとおりです。
- ヒッパルコスは、円を 360 度の 60 分に分割した最初のギリシャの作家です。
- 彼は 60 進数を体系的に使用した最初の人物です。
- 彼は、開口部の 2° または 2.5° の角度単位であるpechus (「キュビット」) を使用しました。
- 彼は 248 日 = 異常な 9 か月という短い期間を使用しました。
参考資料
- الرياضيات في بلاد الرافدين – arabe
- Matemàtiques de Babilònia – catalan
- Babylonische Mathematik – allemand
- Βαβυλωνιακά μαθηματικά – grec
- Babylonian mathematics – anglais
- Matemática babilónica – espagnol