導入
『Elements of Analysis』は、フランスの数学者ジャン・デュドネによって書かれた 9 巻からなるシリーズです。当初は、1960 年に出版された第 1 巻『 Foundations of Modern Analysis 』のみが計画されていました。 J. デュドネは、ミシガン大学で行われた一連のコースの後にこの本を書きました。この第 1巻では、著者は数学または物理学の学生が習得しなければならない解析に関する最低限の知識を提示したいと考えています。
後に、この第 1 巻は、『Foundations of Modern Analysis』というタイトルでフランス語に翻訳されます。デュドネ氏はフランス語で直接書かれた 8 巻を追加する予定です。
作業の計画
第 1 巻: 現代分析の基礎
第 1 巻
I –集合論の要素。
- 1. 要素とセット。
- 2.ブール計算。
- 3. 2個セットの商品です。
- 4. アプリケーション。
- 5. 直接イメージと相互イメージ。
- 6. 全射法、単射法、全単射法の応用。
- 7. アプリケーションの構成。
- 8. 要素のファミリー。セットのファミリーの出会いと交差点。
- 9. 可算集合。
II – 実数。
- 1. 実数の公理。
- 2. 実数の順序構造。
- 3. 上部端子と下部端子。
III – メートル空間。
- 1. メートル単位の距離とスペース。
- 2. 距離の例。
- 3. アイソメトリー。
- 4. ボール、球、直径。
- 5. オープンセット。
- 6. 近所。
- 7.セットの内部。
- 8. クローズドセット、付着点、セットの付着。
- 9. 密集した部品、分離可能なスペース。
- 10.計量空間の部分空間。
- 11. 継続的なアプリケーション。
- 12. 準同型性。同等の距離。
- 13. 制限。
- 14. コーシースイート、完全なスペース。
- 15. 初歩的な拡張定理。
- 16. コンパクトなスペース。
- 17. コンパクトなセット。
- 18. 局所的にコンパクトなスペース。
- 19. 関連する空間と関連するセット。
- 20. 2 つの計量空間の積。
IV – 実線に特有のプロパティ。
- 1. 代数演算の連続性。
- 2. 単調関数。
- 3. 対数と指数。
- 4. 複素数。
- 5. ティーツェ・ウリソーンの拡張定理。
V – 標準化されたスペース。
- 1. ノルム空間とバナッハ空間。
- 2. 標準化されたスペースでのシリーズ化。
- 3. 絶対収束系列。
- 4. 部分空間と標準化空間の有限積。
- 5. 多重線形アプリケーションの連続条件。
- 6. 同等の規格。
- 7. 連続多重線形アプリケーションの空間。
- 8. 閉じた超平面と連続線形。
- 9. 有限次元の正規空間。
- 10. 分離可能な標準化されたスペース。
VI – ヒルベルト空間。
- 1. エルミート形式。
- 2. 正のエルミート形式。
- 3. 完全な部分空間への直交投影。
- 4. ヒルベルト空間のヒルベルト和。
- 5.正規直交系。
- 6. 直交正規化。
VII – 連続関数の空間。
- 1. 有界関数空間。
- 2. 有界連続関数の空間。
- 3. ストーン・ワイエルシュトラスの近似定理。
- 4. アプリケーション。
- 5. 等連続集合。
- 6. 機能を設定します。
VIII –微分積分。
- 1. 継続的なアプリケーションから派生。
- 2. 導出の正式なルール。
- 3. 連続一次関数の空間における導関数。
- 4.変数の関数の導関数。
- 5.平均定理。
- 6. 平均定理の応用。
- 7. プリミティブと積分。
- 8. アプリケーション:番号e。
- 9. 偏導関数。
- 10. ジャコビアン。
- 11.パラメータに応じた積分の導関数。
- 12. 高次導関数。
- 13. 微分演算子。
- 14. テイラー式。
IX – 分析機能。
- 1. シリーズ全体。
- 2. シリーズ全体内のシリーズ全体の置き換え。
- 3. 分析機能。
- 4. 分析拡張の原理。
- 5. 分析機能の例;指数関数。数値pi 。
- 6.ルートに沿った統合。
- 7. 単純接続ドメインの分析関数のプリミティブ。
- 8. 回路に関する点のインデックス。
- 9. コーシーの公式。
- 10. 複素変数の分析関数の特性評価。
- 11. リウヴィルの定理。
- 12. 解析関数の収束シーケンス。
- 13. 分析関数の等連続セット。
- 14.ローランシリーズ。
- 孤立した特異点; 15．ポール。ゼロ。残留物。
- 13. 留数定理。
- 14. 有理型関数。
- 1. レースに関する点のインデックス。
- 2. 単位円における必須のアプリケーション。
- 3. 削減を計画します。
- 4. 単純な円弧と単純な閉曲線。
X – 存在定理。
- 1. 逐次近似の方法。
- 2. 暗黙的な関数。
- 3.順位定理。
- 4. 微分方程式。
- 5. 微分方程式の解の比較。
- 6. 線形微分方程式。
- 7. パラメータの依存関係。
- 8. 初期条件への依存。
- 9. フロベニウスの定理。
XI – 初歩的なスペクトル理論。
- 1. 連続演算子のスペクトル。
- 2. コンパクトな演算子。
- 3. F. リースの理論。
- 4. コンパクトオペレーターのスペクトル。
- 5. ヒルベルト空間のコンパクト演算子。
- 6. フレドホルムの積分方程式。
- 7. スターム・リウヴィル問題。
付録 –線形代数の要素 。
- 1. ベクトル空間。
- 2. 線形アプリケーション。
- 3. 部分空間の直接和。
- 4. 基本。寸法と共寸法。
- 5. 死ぬ。
- 6. 多重線形アプリケーション。決定要因。
参考文献
索引
第二巻
第二巻
XII – トポロジーとトポロジー代数の補足。
- 1. 位相空間。
- 2. トポロジカルな概念。
- 3. スペースを区切ります。
- 4. 標準化可能なスペース。
- 5. 標準化可能な空間の積。
- 6. ユニットの局所的に有限のカバーとパーティション。
- 7. 半連続関数。
- 8. トポロジーグループ。
- 9. メトリズ可能なグループ。
- 10. オペレーター空間と軌道空間。
- 11. 均質な空間。
- 12. 商グループ。
- 13. 位相ベクトル空間。
- 14. 局所的に凸状の空間。
- 15. 弱いトポロジ。
- 16.ベアの定理とその結果。
XIII – 統合。
- 1. メジャーの定義。
- 2. 実際の測定値。
- 3. 積極的な措置。測定値の絶対値。
- 4.曖昧なトポロジー。
- 5. 正の測定値に関する上下の積分。
- 6. 無視できる関数とセット。統合可能な関数とセット。
- 7. ルベーグの収束定理。
- 8. 測定可能な機能。
- 9. ベクトル関数の積分。
- 空間Ｌ １およびＬ ２ 。
- 11. 積極的な措置に関する統合。
- 12. ルベーグ・ニコディムの定理。
- 13. アプリケーション: I. 複雑な測定に関する統合。
- 14. アプリケーション: II. L1のデュアル。
- 15. メジャーの正規分解。
- 16. 測定のサポート。コンパクトに測定をサポート。
- 17. 限定された措置。
- 18. 測定結果の積。
XIV – ローカルでコンパクトなグループへの統合。
- 1. Haar 尺度の存在と独自性。
- 2. 特殊なケースと例。
- 3. グループのモジュール機能。自己同型のモジュール。
- 4. 商グループの Haar 測定。
- 5. 局所的にコンパクトなグループでのメジャーの畳み込み。
- 6. 測定畳み込みの例と特殊なケース。
- 7. 畳み込みの代数的性質。
- 8. メジャーと関数の畳み込み。
- 9. メジャーと関数の畳み込みの例。
- 10. 2 つの関数の畳み込み。
- 11. 正則化。
XV – ノルム化された代数とスペクトル理論。
- 1. ノルム代数。
- 2. 正規化代数の要素のスペクトル。
- 3. 可換バナッハ代数の性質とスペクトル。ゲルファント変身..
- 4. インボリューショナルバナッハ代数とステラー代数。
- 5. 累積代数の表現。
- 6. 正の線形形式と表現。正のヒルベルト形式。
- 7.トレース、ビットレース、ヒルベルト代数。
- 8. ヒルベルト代数を完了する。
- 9. プランシュレル・ゴデメントの定理。
- 10. 連続関数の代数の表現
- 11. ヒルベルトのスペクトル理論。
- 12. 制限のない通常の演算子。
- 13. 無制限のエルミート演算子の拡張。
第三巻
第三巻
XVI – 異なる品種。
- 1. 地図、地図帳、品種。
- 2. 差分品種の例。微分同相写像。
- 3. 差別化可能なアプリケーション。
- 4. ユニットの微分可能なパーティション。
- 5.接線空間。接線直線アプリケーション。ランク。
- 6. さまざまな製品。
- 7. 浸水、浸水、浸水。
- 8. 亜品種。
- 9. 嘘の集団。
- 10. 軌道の空間。均質な空間。
- 11. 例: ユニタリー群、シュティーフェル多様体、グラスマニア多様体、射影空間。
- 12. 線維化。
- 13. マップを使用したフィブリレーションの定義。
- 14. メインファイバースペース。
- 15. ベクトル繊維空間。
- 16. ベクトル バンドルの操作。
- 17. 正確なシーケンス、サブバンドル、および商バンドル。
- 18. ベクトル バンドルの正準射。
- 19. ベクトルバンドルの逆像。
- 20. 微分形式。
- 21. 操縦可能な種類と方向。
- 22. 重積分およびルベスギアン測度における変数の変化。
- 23. サードの定理。
- 24.次元n の純粋有向多様体上の微分 n 形式の積分。
- 25. 埋め込み定理と近似定理。管状の地区。
- 26. 微分可能なホモトピーと同位体。
- 27. 接続された品種の基本的なグループ。
- 28. カバーリングとファンダメンタルズグループ。
- 29.ディファレンシャルマニホールドのユニバーサルカバー。
- 30.リー群のカバーリング。
XVII – 微分多様体上の微分積分。
I. 分布と微分演算子。
- 1. スペース$$ {\mathcal{E}^{(r)}(U)} $$(Uオープンイン$$ {\mathbb{R}^n} $$）。
- 2. セクションスペース$$ {C^\infty} $$(それぞれC r ) のベクトル バンドル。
- 3. 流れと分布。
- 4. 電流のローカル定義。電流のサポート。
- 5. 配向多様体上の電流。での配布$$ {\mathbb{R}^n} $$。
- 6. 実際の分配。プラスの分布。
- 7. コンパクトなメディア配布。一回限りの配布。
- 8. 配布スペース上の弱いトポロジー。
- 9. 例: 発散積分の有限部分。
- 10. 分布のテンソル積。
- 11. リー群での分布の畳み込み。
- 12. 分布の正規化。
- 13. 微分演算子と点分布フィールド。
- 14. 微分演算子としてのベクトル場。
- 15. p微分形式の外部微分。
- 16. ベクトル バンドル上の接続。
- 17. 接続に関連付けられた微分演算子。
- 18. ディファレンシャルマニホールドの接続。
- 19. 共変外部微分。
- 20. 接続部の曲げとねじり。
付録 – 代数の補足 (続き)。
参考文献
索引
第 4 巻
第 4 巻
XVIII – 微分多様体上の微分積分。
II.一階微分方程式と二次微分方程式の初等大域理論。
微分システムの初歩的な局所理論。
- 1. 微分多様体上の 1 次微分方程式。
- 2.ベクトルフィールドをキャストします。
- 3. 多様体上の 2 次微分方程式。
- 4. 等時性フィールドと等時性 2 次方程式。
- 5. 等時性微分方程式の凸性。
- 6. 接続の測地線。
- 7. 1 パラメーター測地線とヤコビ場のファミリー。
- 8. p方向の場、Pfaff 系および偏微分方程式系。
- 9. 差動システム。
- 10. 差動システムの統合要素。
- 11. 統合問題の位置づけ。
- 12. コーシー・コワレフスカの定理。
- 13. カルタン・ケーラーの定理。
- 14.完全に統合可能な Pfaff システム。
- 15. 特異積分多様体。特徴的な品種。
- 16. コーシーの特徴。
- 17. 例: I. 一次偏微分方程式。
- 18. 例: II. 2階の偏微分方程式。
XIX – リー群とリー代数。
XX – 主要な接続とリーマン幾何学。
付録 – 代数の補足 (続き)。
参考文献
索引
第 V 巻: コンパクトなリー群と半単純なリー群
XXI – コンパクトリー群と半単純リー群。
- 1. 局所的にコンパクトなグループの連続ユニタリー表現。
- 2. コンパクト群のヒルベルト代数。
- 3. コンパクトなグループのキャラクター。
- 4. コンパクトなグループの連続ユニタリー表現。
- 5. 不変双線形形式。殺人の形態。
- 6. 半単純リー群。コンパクトなリー群の半単純性の基準。
- 7. 接続されたコンパクトなリー群の最大トーラス。
- 8. ランク 1 のほぼ単純なルートとサブグループ。
- 9. SUの線形表現(2)。
- 10. 半単純コンパクト群のルートのプロパティ。
- 11.ルートシステムの基本。
- 12. 例: 古典的なコンパクトなグループ。
- 13. 接続されたコンパクトなリー群の線形表現。
- 14. 反不変要素。
- 15 H. Weyl の式。
- 16. 中心、基本群、および半単純接続コンパクト群の既約表現。
- 17. 複雑化された半単純に接続されたコンパクトなグループ。
- 18. 複雑化された半単純に接続されたコンパクトな群と対称空間の実形式。
- 19. 複雑な半単純リー代数の根。
- 20. ワイル塩基。
- 21. 岩沢の分解。
- 22. E. カルタンの解決可能性基準。
- 23. EE レヴィの定理。
付録 – 代数の補足 (続き)。
参考文献
索引
第 VI 巻:高調波解析
XXII – 高調波解析。
- 1. ポジティブタイプの連続機能。
- 2. ポジティブタイプの対策。
- 3. 誘導された表現。
- 4. 誘導された表現とサブグループへの表現の制限。
- 5. コンパクトなグループで誘導される部分的な痕跡と表現。
- 6. ゲルファンド群と球面関数。
- 7. プランシュレル変換とフーリエ変換。
- 8. スペースP ( G ) とP’ ( $$ {\mathbb{Z}} $$）。
- 9. 正の型の球面関数と既約表現。
- 10. 可換調和解析とポントレアギン双対性。
- 11. 部分群と商群の双対。
- 12.ポアソンの公式。
- 13. 製品の二重化。
- 14. 二元性の例。
- 15. 局所的にコンパクトな可換群の連続ユニタリー表現。
- 16. 機能の低下$$ {\mathbb{R}^{n}} $$。
- 17. 温帯分布。
- 18. 強化された分布とPaley-Wienerの定理の畳み込み。
- 19. 周期分布とフーリエ級数。
- 20.ソボレフ空間。
第 VII 巻: 線形関数方程式、第 1 部: 擬似微分演算子
XXIII – 線形関数方程式。
最初の部分 – 疑似微分演算子
- 1. 整数演算子。
- 2. 適切な型の整数演算子。
- 3. ベクトル バンドルの整数演算子。
- 4. 繊維密度とコアセクション。
- 5. 境界のあるセクション。
- 6.ヴォルテッラのオペレーター。
- 7. カールマン演算子。
- 8. 一般化された固有関数。
- 9. カーネルのディストリビューション。
- 10. 定期的なカーネル配布。
- 11. 演算子と演算子の構成を正規化する。
- 12. 分布の特異なマイクロサポート。
- 13. 畳み込み方程式。
- 14. 基本的な解決策。
- 15. 線形偏微分方程式系の存在と一意性の問題。
- 16. 演算子の記号。
- 17. 振動積分。
- 18. ラクス・マズロフ演算子。
- 19. 擬似微分演算子。
- 20. 適切なタイプの疑似微分演算子のシンボル
- 21. 行列擬似微分演算子。
- 22. 開いた楕円演算子のパラメータ$$ {\mathbb{R}^{n}} $$。
- 23. 空間における擬似微分演算子$$ {H^{n}_0(X)} $$。
- 24. 古典的ディリクレ問題と粗いディリクレ問題。
- 25. グリーンのオペレーター。
- 26. 多様体上の擬似微分演算子。
- 27. 多様体上の擬似微分演算子の随伴体。多様体上の 2 つの擬似微分演算子で構成されます。
- 28. 疑似微分演算子の分配セクションへの拡張。
- 29. 主要なシンボル。
- 30. 楕円演算子のパラメトリック: 多様体の場合。
- 31. エルミート楕円演算子のスペクトル理論: I. 自己随伴拡張と境界条件。
- 32. エルミート楕円演算子のスペクトル理論: II。一般化された固有関数。
- 33. 本質的に自己共役の擬似微分演算子: I.エルミート畳み込み演算子$$ {\mathbb{R}^{n}} $$。
- 34. 本質的に自己共役の擬似微分演算子: II.原子スペクトル。
- 35. 本質的に自己共役の擬似微分演算子: III.コンパクトな多様体の楕円演算子。
- 36. 不変微分演算子。
- 37. 球面関数の微分特性。
- 38. 例: 球面調和関数。
参考文献
索引
第 VIII 巻: 線形関数方程式、第 2 部: 境界問題
XXIII – 線形関数方程式。
パート 2 – 境界問題
- 39. ワイル・コデイラ理論: I. 区間における楕円微分演算子$$ {\mathbb{R}} $$。
- 40. ワイル・コデイラ理論: II.境界条件。
- 41. ワイル・コデイラ理論: III.線形微分方程式に関連付けられた自己随伴演算子。
- 42. ワイル・コデイラ理論: IV.グリーンの関数とスペクトル。
- 43. ワイル・コデイラ理論: V. 2 次方程式の場合。
- 44. ワイル・コデイラ理論: VI.例: 周期係数を含む 2 次方程式。
- 45. ワイル・コデイラ理論: VII.例: ゲルファント・レヴィタン方程式。
- 46. 多層ポテンシャル: I. 有理型シンボル。
- 47. 多層ポテンシャル: II。超平面多層の場合。
- 48. 多層ポテンシャル: III.一般的なケース。
- 49. 楕円微分演算子の微細境界問題: I. カルデロン演算子。
- 50. 楕円微分演算子の微細境界問題: II.楕円境界の問題。
- 51. 楕円微分演算子の微細境界問題: III.楕円率の基準。
- 52. 楕円微分演算子の微細境界問題: IV.スペースH s 、 r ( U + ) 。
- 53. 楕円微分演算子の微細境界問題: V. H s 、 rおよびPポテンシャル空間。
- 54. 楕円微分演算子の微細境界問題: VI.境界における規則性。
- 55. 楕円微分演算子の微細境界問題: VII.強制的な問題。
- 56. 楕円微分演算子の微細境界問題: VIII.一般化されたグリーンの公式。
- 57. 楕円微分演算子の微細境界問題: IX.強制的な問題に関連した細かい問題。
- 58. 楕円微分演算子の微細境界問題: X. 例。
- 59. 楕円微分演算子の微細境界問題: XI.特定の非エルミート演算子への拡張。
- 60. 楕円微分演算子の微細境界問題: XII. 2 次演算子の場合。ノイマン問題。
- 61. 楕円微分演算子の微細境界問題: XIII.最大限の原則。
- 62. 放物線方程式: I. 局所的な一方向性解決の構築。
- 63. 放物線方程式: II.一般化されたコーシー問題。
- 64. 放物線方程式: III.トレースと固有値。
- 65. スケーラブルなディストリビューション。
- 66. 波動方程式: I. 一般化されたコーシー問題。
- 67. 波動方程式: II.広がりと影響範囲。
- 68. 波動方程式: III.信号、波、光線。
- 69. 厳密な双曲線方程式: I. 暫定的な結果。
- 70. 厳密な双曲線方程式: II.ローカル近似解決手段の構築。
- 71. 厳密な双曲線方程式: III.例とバリエーション。
- 72. 厳密な双曲線方程式: IV.厳密な双曲線微分演算子のコーシー問題。地域の存在感と独自性。
- 73. 厳密な双曲線方程式: V. グローバルな問題。
- 74. 厳密な双曲線方程式: VI.品種への拡張。
- 75. エルミート楕円演算子のスペクトルへの適用。
参考文献
索引
第 IX 巻:代数トポロジーと初等微分トポロジー
XXIV – 代数トポロジーと初等微分トポロジー
- 1. コホモロジーと微分多様体のコンパクトなサポートを備えたコホモロジー。
- 2.ホモトピー公式。
- 3. マイヤー・ヴィエトリス・スイート。
- 4. 球のコホモロジー。
- 5. クネスの定理。
- 6. ポアンカレの双対性。
- コンパクトな部分多様体のコホモロジー、７．
- 8. ブラウワー学位。
- 9. アプリケーションの程度。
- 10. 現在の相同性。
- 11. 配向多様体上の電流の相同性。
- 12. 電流の調整。
- 13. 交差リング。
- 14. ストークスの公式。
- 15. 応用: I. 方程式の根の数。
- 16. アプリケーション: II.代数曲面上の代数曲線の交差。
- 17. 細胞電流の相同性。
- 18. セルラーおよび単純なサブディビジョン。
- 19. 単純電流のエッジ。
- 20. 形式的単純鎖と特異相同性。
- 21. 細分補題。
- 22. 特異相同性の特性。
- 23. De Rham の定理: I. 単純な部分分割に関連付けられた電流。
- 24. デ・ラムの定理: II。単純なサブディビジョンの電流による電流の近似。
- 25. デ・ラムの定理: III. pフォームの拡張。
- 26. デ・ラムの定理: IV.デモンストレーション終了。
- 27. 相同性モジュールの構造。
- 28. コンパクトなユークリッド単純複素数の相同性。
- 29. 特異コホモロジー。
- 30. 相同性グループの構造。
- 31. 特異コホモロジーの環。
- 32. コンパクトなユークリッド単純複素数の特異コホモロジー。
- 33. 微分多様体の特異コホモロジー。
- 34. コンパクトなサポートを持つ特異コホモロジー。
- 35. 相対特異相同性とコホモロジー。
- 36. 相対コホモロジーとコンパクトなサポートを備えたコホモロジー。
- 37.切除と関連するマイヤー・ヴィエトリスの影響。
- 38. 多様体積とファイバー空間のコホモロジー。
- 39. ガイシン列とオイラークラス。
- 40. グラスマンニアンのコホモロジー。
- 41.チャーンクラス。
- 42. チャーンクラスのプロパティ。
- 43. ポントラジャギンクラス。
- 44. ベクトル微分形式と主な接続についての補足。
- 45. ヴェイユ準同型性。
- 46. 曲率と特性クラス。
- 47. スティーフェル・ホイットニークラス。
- 48. ホッジの理論。
- 49. アティヤ・ボット・レフシェッツの公式。
- 50. 応用: I. ベクトル場のホップの公式。
- 51. アプリケーション: II。特性クラスのボット式。
- 52. リー群のコホモロジー。
- 53. 原始的な要素。
参考文献
索引