導入
数学、より正確には代数的整数論では、二次体の整数の環は、ある点で相対整数の環に似ています。それらの一部は、エイゼンシュタインのガウス整数や体Q (√5) の整数のようなユークリッドです。この性質は、ベズーの恒等式、ユークリッドの補題、さらには算術の基本定理など、古典的な算術定理をもたらします。
一方、二次整数の多くの環はユークリッドではなく、主または階乗でもありません。この困難に直面したエルンスト クンマーは、理想数の概念を発見し、多くの場合にフェルマーの最終定理を証明できるようになりました。リチャード・デデキントによって完成されたこのアプローチは、この階乗性の欠如に対する緩和策を提供することを可能にします。数値を特定の角度から一意に素因数の積に分解できなくなっても、理想は分解できます。
このアプローチにより、ペル・フェルマー方程式の比較的一般的な場合やフェルマーの 2 平方定理の一般化など、特定のディオファントス方程式の解決が可能になります。二次整数の環の特定の場合は、より大きな理論、つまり代数整数の単純な場合に対応します。分数イデアルの素イデアルへの分解の一意性やイデアルのクラスのグループの有限な性質などの基本定理は、一般的な場合と同様の形式をとりますが、依然として理解が簡単です。
デデキントの指輪
完全に密閉されたリング
この記事の文脈は二次体K 、つまり有理数体Qの二次拡張です。 KがQ [ √d ] に等しいような、必ずしも正ではない二乗因数のない整数d が存在します。値 √ d は、その二乗がdに等しくなるような数値を表します。 Q [√ d ] が複素数の集合であるCのサブフィールドで識別される場合、慣例により、方程式X 2 – d = 0 ( d > 0の場合は正) の正の解で √ d を識別することができます。 d < 0の場合の虚数部の解。この表記法は、負の数に根根根号を適用することで構成されており、一般的で便利です。それは詳細な記事で正当化されます。
二次整数はKの要素 α であり、多項式が存在し、支配的な単項式が 1 に等しい係数を持ち、係数が相対整数の集合Zにあり、ルート α を持ちます。 Kの 2 次整数のセットは、加算、減算、乗算に対して安定しています。輪を形成すると言われています。このリングは、2 つの要素 1 と ω のZ内の係数を持つ線形結合のセットに対応します。数値 ω は 2 次の整数で、 d が1 を法とする4 に合同でない場合は √ dに等しく、そうでない場合は 1/2(1 + √ d ) に等しくなります。 Z [ω] またはO Kで示されるこのセットは、 a + b .ω の形式の要素で構成されます。ここで、 aとb はZの要素を示します。これはKに含まれる 2 次整数の唯一のリングではありませんが、多くの点で最も興味深いリングの 1 つに対応します。
環Z [ω] には、単純であると同時に重要な特性があります。これは整数、つまり可換でユニタリであり (乗算 1 の中立要素が含まれます)、積 α.β が 0 に等しい場合、α または β のいずれかが null になります。完全性と可換性は、 Cの要素で形成されるリングの特徴です。
他の整数リングと同様に、その分数体を考慮することができます。これはたまたまQ [√ d ] であり、その定義に使用される体です。その構造上、 Z [ω] はその分数体の代数的整数の環に等しい。このようなリングは完全に閉じていると言われます。このプロパティは、この記事で説明する特定のデモンストレーションには不可欠であると思われます。
最初の理想、最大の理想
理想の概念は、多くの場合、可換代数の鍵となります。最も単純な理想は、環の要素 (ここでは数値) の倍数として見ることができます。したがって、相対整数における 3 の倍数は理想を形成します。より一般的には、理想的なのは、加算と減算 (加法群を形成) および環の任意の要素の乗算に対して安定した環のサブセットです。したがって、2 つの 3 の倍数の合計は 3 の倍数のままであり、3 の倍数に任意の整数を乗算した場合も 3 の倍数のままです。
複数から構成される理想は、一次理想と呼ばれるほど重要です。すべてのイデアルが主である場合、その環は主であると言われ、特に算術の基本定理が適用されます。原則として、二次体の積分閉包は原理的ではありません。非主イデアルの例として、 Zの係数を持つ多項式のリングの中で、偶数の定数を持つ多項式を考えることができます。それらは理想を形成しますが、それは原則ではありません。 Ideal の魅力の 1 つは、リングを商うことができることです。おそらく最も古典的な例は、モジュラー算術Z/nZのキー構造の例です。差異が理想の要素となる 2 つの要素が特定されます。 Z/3Zでは 1、4、7 が同じクラスに相当します。一体型フェンスにはZと共通のプロパティがあります。
- 二次整数の単位環とゼロ以外のイデアルとの商は、有限基数環を形成します。
この物件は完全なフェンスを使用していません。それは、最初の理想と最大の理想という 2 つのタイプの理想に影響を与えます。イデアルによるその環の商が整数の環を形成する場合、イデアルは素数です。この概念は、素数または素数要素の概念を一般化します。環Aの要素 α が素数であるということは、積 β.γ が α に等しい場合、β または γ のいずれかが可逆要素 ( Zの 1 または -1 のように) であることを意味します。主イデアルは、そのイデアルを生じさせる要素が素数である場合にのみ素数であり、この性質は十分ではありません。素イデアルの定義は、素元の定義を一般化します。この理想による輪の商が体であるとき、理想は最大であると言われます。別の言い方をすると、イデアルは、それを含むリング全体以外にイデアルが存在しない場合に限り、最大であることに注意する必要があります。最大イデアルを生成できるのは素元のみですが、素元が最大イデアルを生成しない環も存在します。これは、たとえば、 Zの係数を持つ多項式のリング内で偶数の定数を持つ多項式の理想の場合に当てはまります。理想は素数です。2 つの多項式の積が偶数定数の多項式を与える場合、2 つの多項式のうちの 1 つが偶数定数になるからです。一方、これは最大ではなく、たとえば、 X + 1 の倍数と 2 の定数倍を持つ多項式の合計によって形成される理想に含まれます。環自然数と同様、この構成は次の場合には発生しません。この記事で取り上げるリング:
- 二次整数のユニタリーリングの主イデアルは最大です。
- 二次整数の単位環とゼロ以外のイデアルとの商は、有限基数環を形成します。
二次整数の記事では、 A が二次整数の単位環である場合、要素 ω が存在し、 AがZ [ω] に等しいことが示されています。 dが1 を法とする 4 に合同である場合、ω は √ dまたは 1/2(1 + √ d ) に等しく、 d が1 を法とする 4 に合同でない場合、ω は次のような完全な非平方整数 d が存在します。常に √ dに等しくなります。完全なフェンスとの違いは、 d が完全な正方形ではなく、平方係数を含むことができることです。
まず、次のより限定的な性質を証明しましょう。
- 二次整数の単位環とゼロ以外の主イデアル M との商は、有限基数環を形成します。
α をイデアルMの生成子とし、ψ をZ [ω] のMへの正準射影、つまりMのクラスをZ [ω] の要素に関連付ける射とします。 Mの任意の要素に対して、要素がa + b.ωに等しいような 2 つの整数aとb が存在します。 ψ は射であるため、次の等式が成り立ちます。
aとb をα のノルムの絶対値でユークリッド除算すると、次の等式が検証されるような整数の存在が示されます。
前の等式のaとb をユークリッド除算で置き換えると、次が得られます。
α のノルムは、その共役の α の積 α.α cに等しく、α の倍数です。したがって、ψ によるイメージがゼロであるMの要素です。前の等式は、より簡単に記述されます。
arには最大でN (α) 個の異なる値があり、 brには同数の異なる値が存在します。これは、商リングにはN (α) 2を超える値が含まれていないことを示しています。
- 一般化:
N をゼロ以外の理想とする。これには非ゼロ要素 α が含まれているため、α によって生成された理想的なM が含まれます。 Z [ω]/ MからZ [ω]/ Nへのマップf を考えてみましょう。これは、 Z [ω]/ MのクラスCに、 Cの代表のZ [ω]/ Nのクラスを関連付けます。このアプリケーションは明確に定義されています。 β と γ をCの 2 つの代表とします。それらは α の倍数だけ異なりますが、α の倍数はN内にあり、実際にはZ [ω]/ Nの同じクラスに属します。
写像f は全射です。有限集合Z [ω]/ MからZ [ω]/ Nへの全射写像が存在します。これは、 Z [ω]/ Nの濃度がZ [ω] の濃度より小さいことを示しています。 / Mなので有限です。
- 二次整数のユニタリーリングの主イデアルは最大です。
M を環Z [ω] の素イデアルとする。環Z [ω]/ M は有限であり、積分です。 α を商の非ゼロ要素とし、α をxに関連付ける商自体の適用を考えます。 × 。完全性の定義によれば、このアプリケーションは単射的です。実際、β と γ を、α.β = α.γ となる商の 2 つの要素とすると、α.(β – γ) はゼロであり、2 つの要素のうちの 1 つはゼロになります。 αではないのでβ=γということになり、単射性が証明されます。有限基数集合の単射写像自体は全単射であり、写像の画像内に 1 があり、α.δ が 1 に等しいような要素 δ が存在すると推測されます。つまり、α が非可逆であることは、α が可逆であることを意味します。 -zero: 本体の定義。理想は最大限です。
この性質は、有限型のアーベル群に関する基本定理の特殊な場合に対応します。この定理は依然として不変因子定理の特殊な場合です。
ネーターリング
二次場の整数のリング上でこれまで組み立てられた特性は、確かな理論を確立するには十分ではありません。目標は、ベクトル空間の次元にいくらか似た二次整数のリングの特性を示すことです。部分空間の増加シーケンスは、有限次元のベクトル空間では、特定のランクからは静止します。これは、リングに求めているのと同等のプロパティです。 Zでは、イデアルの増加シーケンスは、特定のランクからは定常です。環Zが主であるため、1 つのイデアルが別のイデアルを含むと言うのは、その生成器がもう 1 つのイデアルを分割すると言うことです。シーケンスa 0 、 a 1 、… a n がa i+1 がa i を除算するようなものである場合、シーケンスは、特定のランクから、可逆乗算因数まで一定です。この性質はすべての階乗リングに当てはまりますが、二次体の整数のリングは必ずしも階乗ではないため、これが目標である弱いものになります。このようなリングはネーター環と呼ばれます。
- 二次整数のユニタリ環はネーター環です。
もう一度言いますが、この命題を確立するために代数閉包特性は必要ありません。実際には、もう少し先に進むことも可能です。
- 二次整数のユニタリー リングのゼロ以外のすべての理想 M は、次元 2 の Z サブモジュールです。
二次整数のユニタリー リングは、 Z上のほぼベクトル空間として見ることができます。ここでの「ほぼ」という言葉は、非ゼロのスカラーが必ずしも逆関数を持たないことを意味します。このような構造をモジュールと呼びます。一方、ベースの定義は変わらず、自由で生成的な家族です。
- 二次整数のユニタリー環はネーター関数です。
環はZ [ω] で表されます。 M j を、包含するために増加するZ [ω] のイデアルのシーケンスとする。 M j+1にはM j が含まれており、これはZ [ω]/ M j+1に含まれる同値クラスがZ [ω]/ M jよりも少ないことを示します。それらにまったく同じ数の同値クラスが含まれている場合、これはM jとM j+1が等しいことを意味します。前の段落では、非ゼロイデアルによる商の同値クラスの数が有限であることを示しました。このクラス数は有限回数しか減少できません。これは、特定のランクからはシーケンスが定常であることを意味します。
- 理想的なM は、次の 2 つの要素をベースとしたZモジュールを形成します。
イデアルの増加シーケンスが特定のランクを超えると定常になるという事実の実証は、2 つの要素によって生成されたサブモジュールにも当てはまります。 (α 1 , β 1 ) をMの自由ベクトルのペアとすると、このペアがM を生成しない場合、α 1と β を生成するMの要素の別のペア (α 2 , β 2 ) が存在することを示せば十分です。 α ２ が族（α １ 、β １ ）によって生成されないように、 １に従う。新しいファミリーには、(α 1 , β 1 ) によって生成されたモジュールが厳密に含まれています。それがMに等しくない場合、プロセスが繰り返されます。厳密に増加するサブグループの系列が得られます。有限数のステップnの後、シーケンスは定常になります。これは、(α n , β n ) によって生成されたグループがMに等しいことを意味します。
(α 1 , β 1 ) がM を生成しない場合、(α 1 , β 1 ) によって生成されないMのベクトルγ 2が存在します。 Z [ω] には塩基 (1, ω) が含まれるため、γ 2 はこの塩基の線形結合になります。 δ 2 をγ 2と同一直線上にあるベクトルとし、その基底 (1, ω) の係数が互いに素数になるように選択されます。γ 2と同一直線上にあるZ [ω] の要素は、δ 2の整数係数をもつ倍数として表現されます。 。 k を、 k .δ 2がMの要素となるような最小の厳密に正の相対整数とします。 γ ２が対（α １ 、β １ ）によって生成されないので、 ｋ・δ ２も対によって生成されない。
α ２ がベクトルｋ・δ ２を表すものとする。対（α １ 、β １ ）はＱ ［ω］の基底であり、α ２ はその対の有理係数との線形結合として表される。分母を乗算することにより、α 2の倍数に等しい相対整数の係数を持つカップルの線形結合が得られます。 p 2 が係数の最大公約数である場合、次のようなa 2 、 b 2およびf 2に関連する 3 つの整数が存在します。
たとえ、ｐ ２とｆ ２ を最大公約数で割ることを意味するとしても、それらの中から最初に選択することが可能である。左側の項は δ 2と同一線上にあり、したがってこのベクトルの倍数であり、その倍数には因子として p 2 が含まれます。さらに、この倍数はf 2に等しい。 k 。 ｐ ２とｆ ２ は互いに素であるため、 ｐ ２ はｋを除算し、 ｋがｐ ２に等しいような整数ｑ ２ が存在する。 q2 .前の等式をp 2で除算すると、次が得られます。
ベクトルf 2 。 q 2 .δ 2 は、対 (α 1 , β 1 ) の整数係数との線形結合であるため、 Mの要素です。 r をf 2のユークリッド除算の余りとします。 q 2 by k , r.δ 2 は、 Mの 2 つの要素の差であるため、 Mの要素です。 r はkより絶対値が厳密に小さいため、 kの定義はrがゼロであることを示します。これからf 2 を推定します。 q 2 はkの倍数です。したがって、次のような整数k 2が存在します。
構成により、 a 2とb 2 は互いに素であり、ベズー恒等式は、 a 2 d 2 – b 2 c 2 = 1 となる 2 つの相対整数c 2とd 2の存在を示します。β 2を β 2 = cで定義するとします。 2 .α 1 + d 2 .β 1 , β 2はカップル (α 1 , β 1 ) によって生成されるため、 Mの要素になります。次の行列は、行列式が 1 に等しいため、相対整数の環内で可逆です。
α 2と β 2 が前のベクトルのペアを生成すると推定し、デモンストレーションを完了します。
デデキントの指輪
階乗性の欠如を補うために使用される方法は、リングの主イデアルを研究することから構成されます。構造が十分に豊富であれば、どのイデアルも素イデアルの積に一意に分解され、このタイプの構造の算術基本定理が置き換えられます。 2 つのイデアルの積の定義は次のとおりです。
- NとM を可換環Aの 2 つのイデアルとする。理想NとMの積と呼ばれる理想NMは、 Aの要素とNの要素およびMの要素の積の合計のセットです。
この製品が理想であることを示すのは比較的簡単です。
Z [ω] が整数であり、ネーターのユニタリ可換であることはすでにわかっていますが、それでもこれらの性質は不十分です。例Z [ i √3] は、4 イデアルZ [ i √3] が素イデアルへの分解を持たないことを示しています。他のイデアルと同様に、これは最大イデアルMに含まれます。この例では、これは一意であり、形式a.2 + b .(1+√3) の要素に対応します。これは依然として厳密にはM 2 (Mの 2 乗) に含まれますが、厳密にはM 3 も含まれます。
正しいコンテキストを取得するには、2 つの追加プロパティが必要です。すべての素イデアルは最大でなければなりません。これは 2 次整数のリングに当てはまります。さらに、リングは完全に閉じている必要があります。これは、2 次整数 ω が二乗係数のない整数dから必然的に構成されることを意味します。リチャード・デデキントは、この一連の特性が重要な定理を確立するのに十分であることを発見しました。
これらの特性をすべて満たす指輪はデデキントであると言われます。有理体の有限拡張の積分閉包はデデキント環です。それにもかかわらず、デモはさらに困難です。