零能内部同型について詳しく解説

次元 3 のゼロポテント同型写像による基底の画像の例。

零潜在性内部同型性は内部同型性、つまりベクトル空間のそれ自体への線形マップであり、十分な回数それ自体で合成されるとゼロマップが得られます。例を図に示します。

ゼロポテンスの概念は数学において重要です。これは、約数0 の特定の場合に対応します。これは、線形代数だけでなく、零ポテントリー代数の解析によるリー群の研究だけでなく、たとえば、環の理論でも見られます。

線形代数では、零同型同型性は、内部同型性の還元、つまり最も単純な可能な形式での内部同型性の表現に関与しているため、重要です。線形微分方程式を解くなど、実用的な用途があります。

準同型性の零能性を認識する 1 つの方法は、それを表す行列 (関係するベクトル空間の基底で) を、そのべき乗の 1 つが 0 になるまでそれ自体で連続的に乗算することです。

ゼロポテント同型性の概念に対応するものがあり、それはゼロポテント行列に対応します。これらの行列は、概念に対するより具体的なアプローチを提供し、計算の形で実際に使用できるようにします。

意味

どちらか

$$ {E\;} $$

物体上のベクトル空間

$$ {\mathbb K\;} $$

そして

$$ {u\;} $$

の準同型性

$$ {E\;} $$

、

$$ {u\;} $$

次のような整数 n が存在する場合に限り、は零能であると言われます。

$$ {u^n=0\;} $$

。この性質を満たす最小の整数 n は、準同型性指数と呼ばれます。

x をベクトルとすると、 nilpotent マップの x のインデックスを、 u ^p (x) = 0となる最小の整数 p と呼びます。

コンセプトへの興味

無力性と還元

数学における重要な問題は、還元、つまり、概念を最初の概念全体を記述するより単純なサブ概念に分解することです。線形アプリケーションのコンテキストでは、縮小は記事「内部同型性縮小」で説明されています。有限次元では、零同型同型性が次のような場合に重要な役割を果たします。

$$ {\mathbb K\;} $$

は代数的に閉じた体です。すべての多項式が分割される場合、つまりすべての多項式が一次多項式の積として記述される場合に限り、体は代数的に閉じていると言われます。これは、たとえば複素数の場合に当てはまります。この仮説の下では、内部同型性還元の理論は、一般的な場合は、対角化可能な内部同型性と零ポテントの合計に帰着することを示しています。この結果は、ダンフォード分解として知られています。

体の代数的閉包がもはや真ではない場合でも、ベクトル空間を代数的に閉じた体にわたって拡張することが可能です。この技術は広く使用されています。実際のところ、物理学では実際にはこのアプローチのみが使用されます。

アプリケーション

代数閉包まで拡張することが可能であるため、この文脈における準同型性の低減は数学において重要な役割を果たします。したがって、ゼロポテント同型写像は数学のさまざまな分野で必要です。線形代数では、準同型性の縮小の重要な場合に対応するジョルダン縮小に自然に介入します。使用される手法は、内部同型多項式の手法です。その結果は、線形方程式系の解法や、限界事例として現れる線形微分方程式の解法に見られます。応用数学では、それらはアルゴリズムの探索に重要であり、単純な表現が必要な場合には基本的にゼロポテント行列を使用します。

プロパティ

この例は、零能準同型性の本質的な特性を示しています。そこでは、内部同型性とベクトルのインデックスに関する特性、多項式による必要十分条件が見つかります。適切な空間への分解と還元された塩基の存在を伴う還元。虚数行列の計算特性については、記事「虚数行列」で説明されています。

無電位と指数

零ポテント同型性のインデックスには、次の 2 つの主な特性があります。

零能同型性のインデックスは、空間の次元以下です。
準同型性のインデックスをもつベクトルが存在します。

有限次元の零ポテンスと多項式

多項式は、零ポテンスの必要十分条件を提供するだけでなく、指数に関する情報も提供します。

内部同型性は、その特性多項式が次の場合にのみゼロポテントです。
$$ {(-X)^n\;} $$
ここで、n は空間の次元です。
内部同型性は、その最小多項式が次の場合にのみゼロポテントです。
$$ {X^p\;} $$
ここで、 p は準同型性インデックスです。
ベクトルxの相殺多項式は次と等しいです。
$$ {X^{p_x}\;} $$
または
$$ {p_x\;} $$
はベクトルxのインデックスです。

零ポテンスと有限次元削減

リダクション原理は、ベクトル空間の安定した部分空間の直接和分解を見つけることで構成されます。ゼロポテント同型写像用のものが 1 つあります。そしてジョーダンの軽減と相性が良い。このアプローチは、準同型性の解析に一般的です。ゼロテント同型性の場合、それは還元塩基の概念と密接に関連しています。

もし
$$ {x\;} $$
インデックス p を持つベクトルであり、ファミリーです
$$ {(x, u(x),…u^{p-1}(x))\;} $$
自由な家族です。
続編があります
$$ {(E_i)\;} $$
u による安定ベクトル部分空間の、ゼロベクトルに還元されず、空間全体の直接和によって生成され、すべての i に対してベクトルが存在します。
$$ {x_i\;} $$
ゼロ以外のインデックス
$$ {p_i\;} $$
そのために家族は
$$ {(x_i, u(x_i),…u^{p_i-1}(x_i))\;} $$
～の基礎を形成する
$$ {E_i\;} $$
。これらの家族が集まることで、空間全体の基礎が形成されます。これらの部分空間をジョルダン空間と呼びます。
あなたの制限は、
$$ {E_i\;} $$
は、ゼロベクトルに還元されていないカーネルを持ち、一意の固有値 0 を持ちます。この特性は、準同型性自体に当てはまります。
分解は最大です。つまり、部分空間ベクトル空間がゼロベクトルに還元されない場合、空間全体を直接和で生成し、前の分解よりも多くの要素を含む安定したベクトル部分空間への分解はありません。

デモンストレーション

デモンストレーションを簡単にするため、インデックスは記事のプレゼンテーションで使用されるものではありません。

内部同型性は、その最小多項式が次の場合にのみゼロポテントです。 $$ {X^p\;} $$

ここで、 p は準同型性インデックスです。

無能の定義によれば、

$$ {X^p\;} $$

は、内部同型性の相殺多項式です。 kがpより小さい場合、多項式は

$$ {X^k\;} $$

は、零同型同型性のインデックスの定義によって同型性をキャンセルしません。

ここで、相殺多項式が主イデアル(または最小多項式) を形成すると、最小多項式は次のように分割されます。

$$ {X^p\;} $$

。これまで見てきたように、唯一の正規化された多項式が内部同型性をキャンセルし、それが分割されます。

$$ {X^p\;} $$

がそれ自体である場合、それが最小多項式であると推定されます。

逆に、最小多項式が次と等しいとします。

$$ {X^p\;} $$

、つまり、p は次のような最小の整数です。

$$ {u^p=0\;} $$

したがって、それは確かにインデックス p の零同型写像です。

ベクトルxの相殺多項式は次と等しいです。 $$ {X^{p_x}\;} $$

または

$$ {p_x\;} $$

はベクトルxのインデックスです。

デモンストレーションは以前のものと似ています。

零ポテント同型性のインデックスは常に空間の次元以下です。

この命題は、前の結果の直接の結果です。内部同型性指数に等しい最小多項式の次数は、常に空間の次元 (または最小多項式の特性) 以下になります。

準同型性のインデックスをもつベクトルが常に存在します。

この命題も最小多項式の結果です。最小多項式が同一同型性の最小多項式であるベクトルが存在する。したがって、このベクトルは準同型性と同じインデックスを持ちます。

もし$$ {x\;} $$

インデックス p を持つベクトルであり、ファミリーです

$$ {(x, u(x),…u^{p-1}(x))\;} $$

自由な家族です。

次の最小多項式を考えます。

$$ {x\;} $$

。という形になっています

$$ {X^k\;} $$

、これは内部同型性の最小多項式の約数であるためです。家族

$$ {(x, u(x),…u^{k-1}(x))\;} $$

したがって、これは無料であり、null 要素は含まれません。したがって、 k-1は次のインデックスよりも小さくなります。

$$ {x\;} $$

。最小多項式の定義により、

$$ {x\;} $$

、

$$ {u^k(x)=0\;} $$

。これでkとp が等しいことが証明され、証明が終了します。

続編があります$$ {(E_i)\;} $$

u による安定ベクトル部分空間の、ゼロベクトルに還元されず、空間全体の直接和によって生成され、すべての i に対してベクトルが存在します。

$$ {x_i\;} $$

ファミリのインデックス p _i がゼロ以外

$$ {(x_i, u(x_i),…u^{p_i-1}(x_i))\;} $$

～の基礎を形成する

$$ {E_i\;} $$

。

この結果を、準同型性の指数pに関する帰納法によって証明しましょう。

pが 1 に等しい場合。準同型性はゼロであり、結果は自明です。

結果がkに対して true であると仮定し、それをk+1に対して証明してみましょう。 u をインデックスk+1の準同型写像とする。次に、 u のu(E)への制限を考えてみましょう。これはインデックスkの零同同型写像です。再発仮説により、シーケンスが存在します。

$$ {(F_i)\;} $$

uによる安定ベクトル部分空間の、ゼロベクトルに還元されず、空間を直接和によって生成します。

$$ {u(E)\;} $$

、すべてのiに対してベクトルが存在するようなもの

$$ {u(x_i)\;} $$

ファミリのインデックスk _iがゼロ以外

$$ {(u(x_i), u^2(x_i),…u^{k_i-1}(x_i))\;} $$

の基礎です

$$ {E_i\;} $$

。

それでは、続きを示してみましょう

$$ {(u^j(x_i))_{i,j\in[0,k_i-1]}\;} $$

～から解放された家族を形成する

$$ {E\;} $$

それは私たちがメモしておきます

$$ {\mathfrak {F}\;} $$

。これを行うには、この族のゼロ線形結合を検討します。

$$ {(1)\qquad \sum_{i,j\in[0,k_i-1]} \alpha_{ij}u^j(x_i)=0\;} $$

この等式に準同型性u を適用すると、形式からすべてのゼロ項が削除されます。

$$ {\alpha_{i k_i-1}u^{k_i}(x_i)\;} $$

以下を取得します。

$$ {(2)\quad \sum_{i,j\in[0,k_i-2]} \alpha_{ij}u^{j+1}(x_i)=0\;} $$

この線形結合は、次の基底の線形結合です。

$$ {u(E)\;} $$

、すべての係数が無効であることを推測します。

$$ {\alpha_{ij}\;} $$

のために

$$ {j\;} $$

とは違う

$$ {k_i-1\;} $$

。式 (1) からこれらの項をすべて削除すると、次が得られます。

$$ {\sum_i \alpha_{ik_i-1}u^{k_i-1}(x_i)=0\;} $$

これは、基底の要素、係数のゼロ線形結合です。

$$ {\alpha_{ik_i-1}\;} $$

したがって、もゼロになります。したがって、線形結合 (1) には係数が 0 しかありません。これは、族が自由であることを示しています。

ここで、この家族が生成的であることを示しましょう。どちらか

$$ {y_1\;} $$

のベクトル

$$ {E\;} $$

。したがって、家族の構築によって

$$ {\mathfrak {F}\;} $$

、線形結合が存在します

$$ {y_2\;} $$

この家族の、あなたによる画像など

$$ {y_1\;} $$

そして

$$ {y_2\;} $$

等しいです。それで

$$ {y_1\;} $$

の合計に等しい

$$ {y_2\;} $$

およびuのカーネルベクトル。しかし、 uの核はuのイメージに含まれています。したがって、これら 2 つのベクトルは実際にファミリーによって生成されます。

$$ {\mathfrak {F}\;} $$

、これで再発は終了します。

あなたの制限は、 $$ {E_i\;} $$は、ゼロベクトルに還元されていないカーネルを持ち、一意の固有値 0 を持ちます。この特性は、準同型性自体に当てはまります。

あなたの制限は、

$$ {E_i\;} $$

は零潜在性内部写像であり、その最小多項式は X のべき乗であり、唯一の固有値は 0 であり、0 は固有値であるため、カーネルは非ゼロです。この推論はベクトル空間全体のuにも当てはまり、命題の終わりを示しています。

内部同型性は、その特性多項式が次の場合にのみゼロポテントです。 $$ {(-X)^n\;} $$ここで、n は空間の次元です。

唯一の固有値は 0 であるため、その代数閉包では特性多項式は分割され、その根として 0 のみを持ちます。したがって、この多項式は X のべき乗であり、次数は n です。その符号は、すべての特性多項式の最高次単項式の符号に由来します。

数学への応用

虚無能行列

零能準同型性の解析を使用して得られた理論的結果は、零能行列に対して重要な結果をもたらします。これらの結果は、Nilpotent マトリックスの記事で説明されています。

準同型性の低減

体が代数的に閉じていて有限次元である場合、零同型同型性は、同型性を低減する問題において特別な役割を果たします。最小多項式の根がすべて単純である一般的な場合は、対角化可能な準同型写像に対応します。この場合、どこでも高密度の準同型性のセットが生成されます。一方、複数のルートの場合は、無能なコンポーネントが存在します。

この分解は、行列の世界で観察される計算において重要な役割を果たします。たとえば、任意の行列が三角化可能であることを証明し、特に単純なジョーダンブロック形式を提供することができます。

多くのアルゴリズムはこの分解に直接関係しています。線形方程式系の解法を大幅に加速します。

線形微分方程式

ジョルダン還元は線形微分方程式に対して特別な役割を果たします。たとえば、係数が一定の場合、一般的な場合の行列の指数の計算は、ジョルダン法によって縮小された行列表現の場合にはるかに簡単になります。したがって、零ポテント行列の指数を計算できることが重要です。このケースは、Nilpotent マトリックスの記事で紹介されています。

リー群

リー群の研究では、零群と呼ばれるものに興味を持つことがあります。リー群の構造は、リー代数構造を備えた接線束によって記述されます。これらの代数の準同型写像での表現は、零同型写像から得られます。

零能内部同型について詳しく解説

意味

コンセプトへの興味

無力性と還元

アプリケーション

プロパティ

無電位と指数

有限次元の零ポテンスと多項式

零ポテンスと有限次元削減

数学への応用

虚無能行列

準同型性の低減

線形微分方程式

リー群

情報源

参考資料

零能内部同型について詳しく解説・関連動画