導入
線形代数では、ベクトル族のランクは、この族によって生成されるベクトル部分空間の次元です。たとえば、線形独立ベクトルのファミリーの場合、そのランクはベクトルの数になります。
EからDへの準同型写像fのランクは、 Eのベクトル部分空間であるfのイメージの次元です。行列のランクは、それが表す線形アプリケーションのランク、またはその列ベクトルのファミリーのランクです。有限次元では、ランク定理はEの次元、 fのカーネル次元、およびfのランクを関連付けます。
マトリックスのランク
rg A で示される行列 A のランクは次のとおりです。
- 線形に独立した行 (または列) ベクトルの最大数、
- A の行 (または列) ベクトルによって生成されるベクトル部分空間の次元、
- A から抽出された可逆正方行列の次数の最大値、
- A のゼロ以外の最大のマイナーのサイズ、
- 積が A に等しい行列 B と C の最小サイズ、
これらの数値はすべて等しい。
ランクは、ガウス・ジョーダン法による消去法を実行し、この方法で得られたスケーリングされた形式を調べることによって決定できます。
例
次のマトリックスを考えてみましょう。
- $$ { A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 4 & 6 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ \end{pmatrix} } $$
2行目のサイズが 1 行目の 2 倍であることがわかります。また、 4行目は 1 行目と 3 行目の合計に等しいことにも注意してください。 1 行目と 3 行目は線形独立です。したがって、この行列のランクは 2 に等しくなります。もう 1 つのより直接的な方法は、この行列の縮小階層形式を計算することです。この新しい行列は元の行列と同じランクを持ち、そのランクはゼロ以外の行の数に対応します。この場合、この基準に一致する行が 2 つあります。
- $$ { A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} } $$
特定の行列のランクは、その転置のランクと等しいことに注意してください。例として、上記の行列 A の転置を考えてみましょう。
- $$ { \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 2 & 4 \\ 3 & 6 & 0 & 3 \\ \end{pmatrix} } $$4 番目の線は最初の線の 3 倍であり、3 番目の線から 2 番目の線を引いたものは最初の線の 2 倍であることがわかります。
したがって、スケーリング後は次のようになります。
- $$ { \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} } $$そして、この行列のランクは確かに 2 です。
ベクトル族のランク
- ファミリの場合、そのランクは、このファミリの空きサブファミリーに含めることができるベクトルの最大数に対応します。
- ファミリー u のランクを次のように定義することもできます: rg (u) = dim(Vect(u))
注: もし
- $$ {R^n\rightarrow E:(r_1,\dots,r_n)\mapsto \sum r_iu_i} $$。
その理由は次のとおりです。 Vect(u) はこの線形マップの画像です。
線形マップのランク
有限次元の 2 つのベクトル空間 E、F と E から F までの線形マップ f が与えられると、f のランクは次のようになります。
- f の画像の次元、
- E と F の 2 つの基底における f に関連付けられた行列のランク、
これら 2 つの数値は等しい。特に、 fに関連付けられた行列のランクは、f を表すために選択された基底には依存しません。実際、可逆行列による右または左の乗算はランクを変更せず、 r g ( P − 1 A Q ) = r g ( A )となります。ここで、 A は最初の基底のペアで f を表す行列です。および塩基変化行列の P、Q。
プロパティ
A を行列とします
- フロベニウスの不等式: rg(AB)+rg(BC) $$ {\leq} $$rg(ABC)+rg(B)
- ランク定理: f E から F への線形マップ、dim(E)=rg(f)+dim(Ker(f))
- 転置: rg(A)=rg(A t )
- 組成：rg(AB) $$ {\leq} $$min(rg(A),rg(B))
- 加算: rg(A+B) $$ {\leq} $$rg(A)+rg(B)
- ベクトル族のランクは、そのベクトルの 1 つにゼロ以外のスカラーを乗算した場合、ベクトルの 1 つに他のベクトルの線形結合を追加した場合、または 2 つのベクトルを交換した場合には変化しません。
- 2 つの行列は、ランクが同じである場合にのみ同等です。
vdm | ||
|---|---|---|
| ベクトル • スカラー • 線形結合• ベクトル空間 • 行列 | ||
| ベクトルファミリー | 生成族 • 自由族（線形独立） • 基底 • 不完全基底定理 •ランク•共線性 |  |
| 亜空間 | ベクトル部分空間 • 集合の和 • 直接和 • 補助部分空間 • 次元 • 余次元 • 線分 • 平面 •超平面 | |
| 形態論と関連する概念 | 線形応用 • カーネル • コーカーネル • カーネル補題 • 擬似逆行列 • 因数分解定理 • ランク定理 • 線形方程式• 連立一次方程式 • ガウス・ジョルダン消去法 • 線形形式 • 双対空間 • 直交性 • 双対基底 • 内部同型線形 •固有値、固有ベクトルと固有空間 • スペクトル • プロジェクター • 対称性 • 対角化可能行列 • 対角化 •冪能同型性 | |
| 仕上がり寸法で | 有限次元ベクトル空間• トレース • 行列式 • 固有多項式• 内部同型多項式 • ケイリー・ハミルトンの定理 • 内部同型の最小多項式• 相似不変量 • 内部同型縮約 • ジョルダン還元 • ダンフォード分解•フロベニウスの分解 | |
| 構造の強化 | ノルム • ドット積 • 二次形式 • 位相ベクトル空間 • 方向性 • 体上の代数• リー代数 •微分複素数 | |
| 開発状況 | 行列理論• 群表現 • 関数解析 • 多線形代数 • 環上の係数 | |