数学、特に代数学では、体K上の代数拡張Lは、すべての要素がK上で代数的である、つまり、係数がKである非ゼロ多項式の根である体の拡張です。それ以外の場合、拡張子は超越と呼ばれます。
このアプローチにより、最初は特定のフィールドの不足、たとえば多項方程式の解に関する実数の不足を補うことが可能になります。最後に、体の構造をよりよく理解するために適合した構造を提供します。代数拡張は、たとえば、立方体の複製やアーベルの定理で説明される根号による多項式方程式の解決などの古代の問題の解決を可能にする解析のサポートです。
動機
代数拡張の概念の最初の形式化は、エルンスト クンマー(1810–1893)によるフェルマーの最終定理を証明する試みから始まりました。 1846 年の論文はイデアル数の概念を定義し、これが 1871 年のリチャード・デデキント(1831-1916)によるイデアルの概念の定義につながります。クンマーは、単一根によって生成される代数拡張の特性を分析します。今日ではクンメリアン拡張と呼ばれています。最終的な形式化は 1857 年に発表されました[ 1 ] 。このツールを使用すると、たとえば、特定のクラスの素数、つまり 37、59、67 (もちろん 2) を除く 100 未満のすべての素数を含む通常の素数に対するフェルマーの定理を証明できます。
このアプローチは、群、環、物体、ベクトル空間などの抽象的な代数構造を定義することで構成されます。これは、Évariste Galois (1811-1832)の研究に始まる運動の一部であり、最初の抽象構造であるグループの構造が定義されています[ 2 ] 。これらの研究は現代代数学の起源となります。クンマーの研究はガロアの研究を補完するものとして意味があり、特に重要な代数拡張はガロア拡張です。これらの構造の一般的な特性により、幾何学、算術、代数における長年未解決の問題を解決することが可能になります。
幾何学では、古代の 4 つの大きな問題のうち 3 つがこのアプローチを使用して解決されます。それらはすべて、直定規とコンパスを使用した構築から来ています。そこでは、角度の三等分、立方体の複製、正多角形の構築可能性がわかります。これら 3 つの特性の現代の証明には、抽象代数と代数拡張の概念が使用されます。 19世紀の終わりには、すべての幾何学は抽象的な代数構造に基づいていました。
算術においては、フェルマーの最終定理を証明する試みが最も進歩の根源となります。代数拡張の概念の形式化は、n (フェルマー方程式のパラメータ) の多くの値にとって不可欠になります。この構造により、さまざまな抽象構造を組み合わせて定理を確立することが可能になります。代数拡張はベクトル空間であり、体でもあり、ユークリッド環構造のおかげで定義され、群は自然にこの体上で作用します。代数的拡張は、代数的整数論の基本構造になります。
代数学では、代数拡張は、根号を使用して多項方程式を解くという古い問題を解くための基本構造です。主要な構造が有限群の構造である場合、最初は順列のサブグループとして強調表示されますが、現代の形式化ではより単純かつ自然に見えます。この場合、群は代数拡張上で動作する有限群になります。
例によるアプローチ
オーバーボディを使用して構築されたシンプルなエクステンション
アイデアは、最小の超体L を構築することです。
これらの要素の集合Kが次のように記述されることが簡単に示されます。
足し算と掛け算という中立的な要素は、明らかに全体の一部です。
すべての要素にはKの反対の要素があります。
積 (これが唯一の巧妙さです) は、乗算によっても安定します。
最後に、 Kのゼロ以外の要素は、次の逆を許容します。
注: a と b の有理数の場合、どちらも非ゼロである a² – 2b² は非ゼロです。 $$ {\sqrt{2}} $$
構造上、このフィールドは、有理数と有理数の両方を含む実数の最小サブフィールドです。
L には、いくつかの興味深い特性があります。
- L は有理数上のベクトル空間です。この空間の次元は 2 に等しい有限です。次に、 二次拡張について話します。
- ベクトル空間としてのL は、次の累乗からなる基底を持ちます。 $$ {\sqrt{2}} $$、つまり (1,$$ {\sqrt{2}} $$）。次に、単純な拡張について説明します。
- x がLの要素である場合、ファミリー (1, x, x 2 ) は次元のカーディナリティよりも大きいカーディナリティを持つため、リンクされます。したがって、 x を根とする有理数の係数を持つ多項式が存在します。
直感的なアプローチにより、 L型構造が理論を構築するための興味深い候補であることがわかります。一方、そのような構成に有理数の超体、つまり実数を使用したことはあまり満足のいくものではありません。実際に、物体K が何であれ、必要な特性を備えた超物体Ωの存在を示すことが常に可能である場合、そのような超物体の存在をアプリオリに必要としない別のアプローチが存在します。
多項式を使用した構築
次の係数を持つ多項式のセットが
この合同は同値関係です
P[X]が次と等しいように選択された場合
定義と最初のプロパティ
Kをフィールド、 L をフィールドの拡張とします。
- Lの要素l は、 l を根とするK の係数を持つ非ゼロ多項式が存在する場合に限り、 Kに対して代数的であると言われます。
- 拡張L は、 Lのすべての要素がKに対して代数的である場合に限り、代数的であると言われます。
- L はK上にベクトル空間構造を持っています。この構造がL に有限次元ベクトル空間構造を与える場合、有限拡張について話します。寸法はよく注目されます [ L : K ]
- lのべき乗がLの生成族を形成するようなLの要素l が存在する場合、拡張は単純であると言われます。
- K上のLからの代数的数の集合F は、LにおけるKの代数閉包と呼ばれるLの部分体です。
- K を体とすると、 Lの既約多項式が次数1 となるような、 Kの代数拡張である体Lが存在します。 L はKの代数閉包と呼ばれます。
代数拡張L にはいくつかの基本的な特性があります。
- Lが [ L : K ] で示される有限次元の場合、 L はKの代数拡張です。
- L が有限次元 [ L : K ] のKの有限拡張であり、 KがHの有限拡張である場合、 L は次元 [ L : K ].[ K : H ] のHの有限拡張です。
- L はK上にベクトル空間構造を持っています。
これを確実にするには、ベクトル空間を定義する公理がLに対して実際に検証されていることを検証するだけで十分です。その場合、デモンストレーションは明らかです。
- Lが [ L : K ] で示される有限次元の場合、 L はKの代数拡張です。
l をLの要素、n を [ L : K ] に等しい正の整数とします。次に、ファミリ (1, l, l 2 ,…,l n ) は、空間の次元よりも多くの要素を含むため、リンクされます。したがって、係数がすべて 0 にならない、この族のゼロ線形結合が存在します。この線形結合は、 l を根とする非ゼロ多項式を定義し、その代数的性質を示します。
- L が有限次元 [ L : K ] のKの拡張であり、 K が有限次元 [ K : H ] のHの拡張である場合、 L は次元 [ L : K ] のHの拡張です。[ K : H ]。
(h 1 , h 2 , …, h n ) を K Hの基底とする (それぞれ (l 1 , l 2 , …, l m ) を L Kの基底とする)。ファミリー ( hi .l j ) が L Hの基礎であることを検証するのは簡単であり、命題を証明します。
代数および多項式の拡張
詳細記事 壊れた体
Kを体、P[X] を K の係数を持つ多項式とします。その場合、P[X] の少なくとも 1 つの根を含むKの代数拡張が存在します。この延長部分は破砕体と呼ばれます。多項式がn次の既約である場合、破砕本体はK上のベクトル空間として n に等しい次元を持ちます。
- P[X] をK上の多項式とすると、多項式P[X] がL’にすべての根を認めるようなKの有限拡張L’ が存在します。次に、多項式がL’で分割されると言います。
- P[X] をK上の多項式とすると、多項式P[X] がL’にすべての根を認めるようなKの有限拡張L’ が存在します。
多項式 P[X] は、分割多項式と 2 以上の既約多項式の積です。
n が 0 に等しい場合、つまり多項式 P[X] が分割される場合、 K は求められる拡張です。それ以外の場合は、多項式の次数 p に関する帰納法によって命題が既約多項式を生成することを証明しましょう。
p が 2 (構造上可能な最小値) に等しい場合、n は 1 に等しく、前の命題は Q 1 [X] が根を認めるような体Lの存在を示します。この多項式は次数 2 であるため分割されます。したがって、 L は求められる拡張です。
p 以下の任意の値に対してプロパティが true であると仮定します。次に、既約多項式の積が p+1 次であると仮定します。この場合、多項式 Q 1 [X] が少なくとも 1 つの根を許容するような拡張K 1が存在します。次に、 Ｋ １上で、多項式Ｑ １ ［Ｘ］が、分割多項式とＱ １ ［Ｘ］の多項式より厳密に低い次数の多項式のＳ’［Ｘ］．Ｑ’ １として生成される。帰納法仮説により、多項式 P[X] がL上で分割されるような最小K 1の有限拡張L が存在します。 L の次元は [ K 1 : K ].[ L . K上のK 1 ]。したがって、それは有限の拡張であり、したがって代数的です。
代数拡張とスーパーフィールド
有理係数を持つ多項式を考える場合、前の段落では、次の拡張を構築できることを示しています。
- P[X] をK上の n 次の既約多項式とし、 L を多項式の根を含むK上の次元 n の有限拡張とし、 F をP[X] の少なくとも 1 つの根を含む拡張とします。すると、 F はLの拡張です。
- P[X] をK上の多項式とすると、多項式 P[X] がL’にすべての根を受け入れるようなKの最小有限拡張L’ が存在します。ここでの最小とは、P[X] のすべての根を含む拡張F がLの拡張であることを意味します。この拡張を P[X] の分解体と呼びます。
このオーバーボディの分析により、次の命題を実証することが可能になります。
- L が体Kの代数拡張であり、(a 1 , a 2 , …, a n ) がLの族である場合、その族を含むLの最小部分体が存在し、この部分体は有限です。 Kの延長です。このサブフィールドをK(a 1 , a 2 , …, a n ) と表します。
- K が体Hの代数拡張であり、 L がKの代数拡張である場合、 L はHの代数拡張です。
L をKの有限拡張子とします。 l をLの要素とします。 lの最小多項式をユニタリー多項式 (つまり、その支配的な単項式が係数 1 を持つ) と呼びます。これは、相殺イデアル、つまりl を根とする多項式のイデアルを生成します。 l を根とする最小次数の多項式です。
- lの最小多項式の次数は [ L : K ] で割られます。
- P[X] をK上の n 次の既約多項式、 L を多項式の根を含むK上の次元 n の有限拡張、 L’ をP[X] の少なくとも 1 つの根を含む拡張とします。すると、 L’はLの拡張になります。
β をL’の P[X] の根とします。次に、次のように定義されるL’におけるLの適用j を考えてみましょう。
マップjはベクトル空間射であるため、内部乗算の射でもあることを証明すれば十分です。 a と b をLの 2 つの要素とすると、 a = A(α) および b = B(α) となる 2 つの多項式 A[X] および B[X] が存在します。次の等式は、 jが加算の射でもあることを示しています。
これでデモンストレーションは終了です。
- P[X] をK上の多項式とすると、多項式 P[X] がL’にすべての根を受け入れるようなKの最小有限拡張L’ が存在します。ここでの最小とは、P[X] のすべての根を含む拡張F がLの拡張であることを意味します。
多項式 P[X] は、分割多項式と 2 以上の既約多項式の積です。
n が 0 に等しい場合、つまり、多項式 P[X] が分割される場合、 K は多項式が分割される最小拡張です。それ以外の場合は、多項式の次数 p に関する帰納法によって命題が既約多項式を生成することを証明しましょう。
p が 2 (構造上可能な最小値) に等しい場合、n は 1 に等しく、前の命題は Q 1 [X] が根を認めるような体Lの存在を示します。この多項式は次数 2 であるため分割されます。最初の命題は、 FがLの拡張であることを示しています。
p 以下の任意の値に対してプロパティが true であると仮定します。次に、既約多項式の積が p+1 次であると仮定します。この場合、多項式 Q 1 [X] が少なくとも 1 つの根を許容するような拡張K 1が存在します。次に、 Ｋ １上で、多項式Ｑ １ ［Ｘ］が、分割多項式とＱ １ ［Ｘ］の多項式より厳密に低い次数の多項式のＳ’［Ｘ］．Ｑ’ １として生成される。帰納法仮説により、多項式 P[X] がL上で分割されるような最小K 1の有限拡張L が存在します。 L の次元は [ K 1 : K ].[ L . K上のK 1 ]。
最後に、 F がLの拡張であることを示します。 F は、S[X]、S'[X]、Q’ 1および Q iの積多項式の根をすべて含むK 1の拡張です。したがって、再発の仮説により、それはLの拡張です。そして命題が実証される。
- L が体Kの代数拡張であり、(a 1 , a 2 , …, a n ) がLの族である場合、その族を含むLの最小部分体が存在し、この部分体は有限です。 Kの延長です。
P i>/sub>[X] をKの係数を持つ a iの最小多項式とする。この多項式が存在するのは、 a iがKに対して代数的であるためです。これらすべての多項式の積には、族のすべての要素が根として含まれます。したがって、 K[X]におけるこの族のキャンセルイデアルは空ではありません。 P[X] をこのイデアルの生成多項式とする。 P[X]の分解体と同型のLの部分体が存在する。前の命題によれば、このサブボディは有限次元であり、ファミリーを含む最小のものであり、命題は証明されています。
- K が体Hの代数拡張であり、 L がKの代数拡張である場合、 L はHの代数拡張です。
l をLの要素としましょう。 LはKに対して代数的であるため、 Kにl を打ち消す係数を持つ多項式が存在します。 (a 1 , a 2 , …, a n ) を多項式の係数の族と表します。フィールド H(a 1 , a 2 , …, a n ) F をFと表します。F は有限です。 H上の次元、 F (l) はF上の有限次元であり、 l はH上の次元 [ F(l) : F ].[ F : H ] のF(l)に含まれます。したがって、l は命題を証明するHの有限次元拡張に含まれます。
- lの最小多項式の次数は [ L : K ] で割られます。
l を含むKの最小拡張子K 1 を考えます。その次元は、 lの最小多項式 n の次数に等しくなります。しかし、 L はK 1の拡張でもあります。次の等式は結果を示します: [ L : K ] = n.[ K 1 : K ]
特別な拡張機能
二次拡張
詳細は「二次拡張」を参照
二次拡張は、特に構成可能な数に関する古代の問題を解決するために使用されます。これらの数は、実数に含まれる本体を形成し、平方根関数によって安定します。つまり、正の構成可能な数の平方根も構成可能です。ユークリッド平面と複素数の同定は、構成可能な数が純粋虚数、有理数を含む最小体を形成し、共役関数と平方根関数によって安定であることを示します。
このような体は、有理数の 2 次拡張の無限シーケンス ( K 0 、 K 1 、…、 K n 、…) を使用して構築できます。ここで、 K 0は有理数の体、 K nはn が厳密に正の場合の体K n-1の二次拡張。構築可能な数値は、シーケンス内の前のボディの二次拡張として構築されたボディの有限シーケンスから構築されたボディの要素として取得されます。次に、二次拡張タワーについて説明します。
この特性が実証されると、立方体の複製などの古くからある問題を解決することが容易になります。実際、立方体を複製するには、最小多項式が 3 次である数値d を作成する必要があります。これで、 d を含む拡張の次元は 2 p型になるか、p は整数になります。代数拡張の要素の最小多項式の次数は常に代数拡張の次元を分割するため、この問題には解決策がありません。
同様のアプローチは、定規とコンパスの方法による角度の三等分の一般的な場合の解決が不可能であることを示し、構成可能な正多角形を決定することを可能にします。
ガロア拡張
詳細は「ガロア拡張」を参照
別のツールは、物体Kの拡張Lの分析に不可欠であり、物体K を不変のままにしたLの自己同型に対応します。関数の内部合成法則を備えた自己同型の集合は群構造を形成する。このツールは、たとえば分解体の場合の有理数体のような有限拡張の場合に特に効果的です。多項式の根のセットに制限されたこのグループの要素は、この根のセットの順列に対応します。有限拡張の場合、ガロア群と呼ばれる有限群に対応します。
このツールが完全に適切であるためには、拡張の最小多項式が実際に複数の根を持っていてはなりません。これは、有理体の拡張、または特性がゼロの体の場合の拡張の場合に常に当てはまります。この文脈では、例えば、拡張がK(a)に等しい単純な拡張であるような、いわゆるプリミティブ要素が存在することを示すことが可能です。拡張子には十分なルートも含まれている必要があります。実際、グループのカーディナリティは拡張の次元と等しくなければなりません。これら 2 つの仮説が検証されれば、ガロア拡張について話します。
ガロア群を使用すると、拡張子の構造を詳細に理解できます。たとえば、そのサブグループと拡張のサブフィールドの間には全単射があります。これは、定規とコンパスを使用して構築可能な多角形を決定する場合や、根号による多項式方程式の解決に関するアーベルの定理に使用されます。
代数閉包
詳細は「代数閉包」を参照
特定の代数拡張が存在します。これは、最小多項式として次数 1 の多項式のみを持つものです。これは、ゼロ以外のすべての次数の多項式が少なくとも 1 つの根を許容する拡張です。実数の場合、代数閉包を得るには上記の有限拡張で十分です。有理数の場合、代数的閉包は、複素数の代数的数のセット (このセットが本体を形成することは簡単に検証できます) によって、または増加する拡張シーケンスの可算和集合として得られます。実数の代数閉包が実数上の 2 次元空間である場合、一方、有理数の代数拡張は無限次元になります。これを確信するには、任意の整数に対して、この整数よりも厳密に大きい次数の最小多項式が存在し、したがって次元がどの整数よりも大きいことに注意するだけで十分です。複素数体の代数的閉包の証明はダランベール-ガウスの定理によって与えられますが、純粋に代数的な証明は知られておらず、これまでは常にトポロジカル ツールの使用が必要でした。
一般的な場合、すべての物体は拡張として代数閉包を持ちます。それにもかかわらず、この定理の証明には一般に選択公理を認める必要があります。実際には、入れ子になった代数拡張の無限系列によって得られることがよくあります。
代数的に閉じた有限体は存在しません。実際、積∏ (X i – a i ) + 1 は、 ai が全身を移動する場合、既約多項式になります。
最後に、体Kの有限拡張L が与えられると、それはKの代数閉包 Ω の部分体と同型になります。これを確信するには、 Lの要素を生成するシーケンス ( l 1 , l 2 , …, l n ) を考慮するだけで十分です。シーケンスの要素の数を反復的に調べると、結論が得られます。要素l 1 が1 つだけ含まれる場合、 P 1 [X] をKにおけるl 1の最小多項式とします。 λ 1 をΩの P 1 [X] の根とすると、 LのK(l 1 ) はΩ のK(λ 1 )と同型です。一般的な場合、 K(l 2 , … ,l n ) はn-1 個の要素によって生成されたK(λ 1 )の拡張であり、漸化式により結論が得られます。
参考資料
- امتداد جبري – arabe
- Extensió algebraica – catalan
- Algebraické nadtěleso – tchèque
- Algebraische Erweiterung – allemand
- Algebraic extension – anglais
- Extensión algebraica – espagnol